A1 (GBR 3), IMO 1. Hàm $f(n)$ được xác định với mọi số nguyên dương $n$ và nhận các giá trị nguyên không âm. Ngoài ra, với mọi $m,n$,
$f(m+n)-f(m)-f(n)=0$ hoặc $1$;
$f(2)=0$, $f(3)>0$, và $f(9999)=3333$.
Hãy xác định $f(1982)$.
A2 (YUG 1). Cho $K$ là một đa giác lồi trong mặt phẳng và giả sử $K$ được đặt trong hệ tọa độ sao cho
$$\operatorname{area}(K\cap Q_i)=\frac14\operatorname{area}K\quad(i=1,2,3,4,),$$
trong đó $Q_i$ là các góc phần tư của mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu $K$ không chứa điểm nguyên nào khác gốc tọa độ thì diện tích của $K$ nhỏ hơn 4.
A3 (USS 4), IMO 3. Xét các dãy vô hạn $\{x_n\}$ gồm những số thực dương có các tính chất sau:
$x_0=1$ và với mọi $i\ge0$, $x_{i+1}\le x_i$.
(a) Chứng minh rằng với mỗi dãy như vậy, tồn tại $n\ge1$ sao cho $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999$.
(b) Tìm một dãy như vậy sao cho $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\lt 4$ với mọi $n$.
A4 (BUL 2). Xác định tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để phương trình
$$16x^4-ax^3+(2a+17)x^2-ax+16=0$$
có đúng bốn nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số nhân.
A5 (NET 2), IMO 5. Cho $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ là một lục giác đều. Mỗi đường chéo $A_{i-1}A_{i+1}$ được chia theo cùng tỉ số $\frac\lambda{1-\lambda}$, trong đó $0\lt \lambda\lt 1$, bởi điểm $B_i$ sao cho $A_i,B_i,B_{i+2}$ thẳng hàng $(i\equiv1,\ldots,6\pmod6)$. Tính $\lambda$.
A6 (VIE 1), IMO 6. Cho $S$ là hình vuông cạnh 100 và $L$ là một đường gấp khúc nằm trong $S$, không tự cắt, gồm các đoạn thẳng $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ với $A_0\ne A_n$. Giả sử với mỗi điểm $P$ trên biên của $S$, có một điểm thuộc $L$ cách $P$ không quá $\frac12$. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $X$ và $Y$ thuộc $L$ sao cho khoảng cách giữa $X$ và $Y$ không quá 1, còn độ dài phần đường $L$ nằm giữa $X$ và $Y$ không nhỏ hơn 198.
B1 (CAN 2). Cho $p(x)$ là đa thức bậc ba hệ số nguyên, có hệ số cao nhất bằng 1 và có một nghiệm bằng tích hai nghiệm còn lại. Chứng minh rằng $2p(-1)$ là một bội của $p(1)+p(-1)-2(1+p(0))$.
B2 (POL 4). Một hình lồi, đóng nằm bên trong một đường tròn cho trước. Từ mỗi điểm trên đường tròn, hình được nhìn dưới một góc vuông (nghĩa là hai tia xuất phát từ điểm đó và đỡ hình lồi vuông góc với nhau). Chứng minh rằng tâm của đường tròn là một tâm đối xứng của hình.
B3 (GBR 1). Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ nằm bên trong sao cho $\angle PAC=\angle PBC$. Các đường vuông góc từ $P$ đến $BC$ và $CA$ lần lượt cắt các đường thẳng này tại $L$ và $M$, còn $D$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng $DL=DM$.
B4 (BRA 1). Một hộp chứa $p$ quả bóng trắng và $q$ quả bóng đen. Bên cạnh hộp có một đống bóng đen. Lấy hai quả bóng ra khỏi hộp. Nếu chúng cùng màu, bỏ vào hộp một quả bóng đen từ đống bóng bên ngoài. Nếu chúng khác màu, bỏ quả bóng trắng trở lại hộp. Lặp lại thao tác này cho đến khi lấy hai quả bóng cuối cùng ra và bỏ vào một quả bóng cuối cùng. Xác suất để quả bóng cuối cùng này màu trắng là bao nhiêu?
B5 (CAN 3). (a) Tìm cách sắp xếp lại $\{a_1,\ldots,a_n\}$ của $\{1,2,\ldots,n\}$ để cực đại hóa
$$a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_1=Q.$$
(b) Tìm cách sắp xếp lại để cực tiểu hóa $Q$.
B6 (FIN 3). Trong mặt phẳng cho bốn đường tròn phân biệt $C,C_1,C_2,C_3$ và một đường thẳng $L$, sao cho $C$ và $L$ không có điểm chung, và mỗi đường tròn $C_1,C_2,C_3$ tiếp xúc với hai đường tròn còn lại, đồng thời tiếp xúc với $C$ và $L$. Biết bán kính của $C$ bằng 1, hãy xác định khoảng cách từ tâm của nó đến $L$.
C1 (NET 1), IMO 2. Cho tam giác không cân $A_1A_2A_3$ có các cạnh $a_1,a_2,a_3$ ($a_i$ là cạnh đối diện với $A_i$). Với mọi $i=1,2,3$, gọi $M_i$ là trung điểm của cạnh $a_i$, $T_i$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh $a_i$, và ảnh của $T_i$ qua phép đối xứng trục là đường phân giác trong của góc $A_i$ là điểm $S_i$. Chứng minh rằng các đường thẳng $M_1S_1,M_2S_2,M_3S_3$ đồng quy.
C2 (AUS 4). Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi trong mặt phẳng, và gọi $A_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$. Xác định $B_1,C_1,D_1$ theo cách tương ứng.
(a) Chứng minh rằng hoặc tất cả các điểm $A_1,B_1,C_1,D_1$ trùng nhau, hoặc chúng đôi một phân biệt. Giả sử xảy ra trường hợp sau, hãy chứng minh $A_1,C_1$ nằm khác phía đối với đường thẳng $B_1D_1$, và tương tự, $B_1,D_1$ nằm khác phía đối với đường thẳng $A_1C_1$. (Điều này xác lập tính lồi của tứ giác $A_1B_1C_1D_1$.)
(b) Gọi $A_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $B_1C_1D_1$, và xác định $B_2,C_2,D_2$ tương tự. Chứng minh rằng tứ giác $A_2B_2C_2D_2$ đồng dạng với tứ giác $ABCD$.
C4 (GBR 2), IMO 4. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên dương sao cho phương trình $x^3-3xy^2+y^3=n$ có một nghiệm nguyên $(x,y)$ thì nó có ít nhất ba nghiệm như vậy. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên khi $n=2891$.
C5 (USS 5). Hai tam giác vuông $ABC$ và $AB_1C_1$ đồng dạng và có hướng ngược nhau. Các góc vuông ở $C$ và $C_1$, đồng thời $\angle CAB=\angle C_1AB_1$. Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC_1$ và $B_1C$. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng $AM$ và $CC_1$ tồn tại thì chúng vuông góc với nhau.
C6 (FRA 2). Cho $O$ là một điểm trong không gian ba chiều và $l_1,l_2,l_3$ là ba đường thẳng đôi một vuông góc đi qua $O$. Gọi $S$ là mặt cầu tâm $O$, bán kính $R$, và với mỗi điểm $M$ thuộc $S$, gọi $S_M$ là mặt cầu tâm $M$, bán kính $R$. Lần lượt kí hiệu $P_1,P_2,P_3$ là giao điểm của $S_M$ với các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$, trong đó lấy $P_i\ne O$ nếu $l_i$ cắt $S_M$ tại hai điểm phân biệt và lấy $P_i=O$ trong trường hợp còn lại $(i=1,2,3)$. Tập hợp trọng tâm của các tam giác $P_1P_2P_3$ (có thể suy biến) là gì khi $M$ chạy trên $S$?
C7 (CZS 3). Gọi $M$ là tập hợp các số thực có dạng $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mỗi cặp $x\in M,y\in M$ thỏa mãn $x\lt y$, tồn tại một phần tử $z\in M$ sao cho $x\lt z\lt y$.
C8 (TUN 3). Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi và dựng các tam giác đều $ABM,CDP,BCN,ADQ$, hai tam giác đầu ra ngoài và hai tam giác còn lại vào trong. Chứng minh rằng $MN=AC$. Có thể nói gì về tứ giác $MNPQ$?