Với mỗi tập $A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt có tổng $s_{A}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$, gọi $p_{A}$ là số cặp $(i, j)$ thỏa mãn $1 \leq i\lt j \leq 4$ mà $a_{i}+a_{j}$ là ước của $s_{A}$. Trong tất cả các tập gồm bốn số nguyên dương phân biệt, xác định các tập $A$ để $p_{A}$ lớn nhất.
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, có thể chia tập $\{2,3,4, \ldots, 3 n+1\}$ thành $n$ bộ ba, sao cho các số trong mỗi bộ ba là độ dài ba cạnh của một tam giác tù.
Cho số nguyên $n\gt 0$, một cân đĩa và $n$ quả cân có khối lượng $2^{0}, 2^{1}, \ldots, 2^{n-1}$. Qua $n$ lượt, ta đặt tất cả quả cân lên cân. Lượt đầu, chọn một quả cân và đặt lên đĩa trái. Mỗi lượt tiếp theo, chọn một quả cân còn lại và đặt lên đĩa trái hoặc đĩa phải. Tính số cách thực hiện $n$ lượt sao cho đĩa phải không bao giờ nặng hơn đĩa trái.
Có 1000 học sinh đứng thành vòng tròn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ thỏa mãn $100 \leq k \leq 300$ và một nhóm $2 k$ học sinh liên tiếp trên vòng tròn, sao cho số nữ sinh ở nửa đầu bằng số nữ sinh ở nửa sau.
Cho tập hữu hạn $\mathcal{S}$ gồm ít nhất hai điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào của $\mathcal{S}$ thẳng hàng. Quá trình “cối xay gió” được định nghĩa như sau. Bắt đầu với đường thẳng $\ell$ đi qua điểm $P \in \mathcal{S}$. Quay $\ell$ theo chiều kim đồng hồ quanh trục quay $P$ cho đến khi đường chứa một điểm khác $Q$ của $\mathcal{S}$. Điểm $Q$ trở thành trục quay mới. Quá trình tiếp diễn vô hạn, với trục quay luôn là một điểm của $\mathcal{S}$.
Chứng minh có thể chọn $P \in \mathcal{S}$ và đường ban đầu $\ell$ qua $P$, sao cho mỗi điểm của $\mathcal{S}$ trở thành trục quay vô số lần.
Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất có tính chất sau: có thể chia tập số nguyên dương thành $k$ tập con $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$, sao cho với mọi số nguyên $n \geq 15$ và mọi $i \in\{1,2, \ldots, k\}$, tồn tại hai phần tử phân biệt của $A_{i}$ có tổng bằng $n$.
Cho số nguyên dương $m$ và bàn cờ gồm $m$ hàng, $m$ cột ô vuông đơn vị. Ở tâm một số ô có một con kiến. Tại thời điểm 0, mỗi con kiến chuyển động với tốc độ 1, song song với một cạnh bàn cờ. Khi đúng hai con kiến chuyển động ngược chiều gặp nhau, cả hai quay $90^{\circ}$ theo chiều kim đồng hồ rồi tiếp tục với tốc độ 1. Khi hơn hai con kiến gặp nhau, hoặc hai con kiến chuyển động theo hai hướng vuông góc gặp nhau, chúng giữ nguyên hướng. Khi đến một cạnh bàn cờ, kiến rơi khỏi bàn và không quay lại.
Xét mọi vị trí và hướng ban đầu, tìm thời điểm muộn nhất mà con kiến cuối cùng có thể rơi khỏi bàn, hoặc chứng minh không nhất thiết tồn tại thời điểm đó.
Cho số nguyên dương $n$ và từ tuần hoàn vô hạn $W=\ldots x_{-1} x_{0} x_{1} x_{2} \ldots$ gồm hai chữ cái $a$, $b$. Giả sử chu kỳ nhỏ nhất $N$ của $W$ lớn hơn $2^{n}$.
Từ hữu hạn không rỗng $U$ được gọi là xuất hiện trong $W$ nếu tồn tại các chỉ số $k \leq \ell$ sao cho $U=x_{k} x_{k+1} \ldots x_{\ell}$. Từ hữu hạn $U$ được gọi là phổ biến nếu cả bốn từ $U a, U b, a U$, $b U$ đều xuất hiện trong $W$. Chứng minh có ít nhất $n$ từ hữu hạn không rỗng phổ biến.
Trên bảng vuông gồm 2011 hàng và 2011 cột ô, đặt hữu hạn khăn, mỗi khăn phủ một hình vuông gồm 52 hàng và 52 cột ô. Trong mỗi ô, ghi số khăn phủ ô đó; gọi $k$ là số lượng lớn nhất các ô cùng chứa một số khác 0. Xét mọi cách đặt khăn, tìm giá trị lớn nhất của $k$.
Cho tam giác nhọn $A B C$. Đường tròn $\omega$ có tâm $L$ nằm trên cạnh $B C$. Giả sử $\omega$ tiếp xúc với $A B$ tại $B^{\prime}$, và với $A C$ tại $C^{\prime}$. Tâm ngoại tiếp $O$ của tam giác $A B C$ nằm trên cung nhỏ $B^{\prime} C^{\prime}$ của $\omega$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $A B C$ và $\omega$ cắt nhau tại hai điểm.
Cho tứ giác $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ không nội tiếp. Gọi $O_{1}$, $r_{1}$ là tâm và bán kính ngoại tiếp của tam giác $A_{2} A_{3} A_{4}$. Định nghĩa $O_{2}, O_{3}, O_{4}$, $r_{2}, r_{3}, r_{4}$ tương tự. Chứng minh rằng
Cho tứ giác lồi $A B C D$, có hai cạnh $A D$, $B C$ không song song. Hai đường tròn đường kính $A B$, $C D$ cắt nhau tại $E$, $F$ nằm trong tứ giác. Gọi $\omega_{E}$ là đường tròn qua các chân đường vuông góc từ $E$ đến các đường $A B, B C$, $C D$; gọi $\omega_{F}$ là đường tròn qua các chân đường vuông góc từ $F$ đến các đường $C D, D A$, $A B$. Chứng minh trung điểm $E F$ nằm trên đường thẳng qua hai giao điểm của $\omega_{E}$, $\omega_{F}$.
Cho tam giác nhọn $A B C$, có đường tròn ngoại tiếp $\Omega$. Gọi $B_{0}$ là trung điểm $A C$, $C_{0}$ là trung điểm $A B$, $D$ là chân đường cao từ $A$, và $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Đường tròn $\omega$ đi qua $B_{0}$, $C_{0}$, tiếp xúc với $\Omega$ tại $X \neq A$. Chứng minh các điểm $D, G$, $X$ thẳng hàng.
Cho tam giác $A B C$, tâm nội tiếp $I$, đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Gọi $D$, $E$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $\omega$ với các đường $A I$, $B I$. Dây $D E$ cắt $A C$ tại $F$, và cắt $B C$ tại $G$. Gọi $P$ là giao điểm của đường qua $F$ song song với $A D$ và đường qua $G$ song song với $B E$. Các tiếp tuyến của $\omega$ tại $A$, $B$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh ba đường $A E, B D$, $K P$ hoặc song song, hoặc đồng quy.
Cho tam giác $A B C$ thỏa mãn $A B=A C$; gọi $D$ là trung điểm $A C$. Phân giác của $\angle B A C$ cắt đường tròn qua $D, B$, $C$ tại điểm $E$ nằm trong tam giác $A B C$. Đường $B D$ cắt đường tròn qua $A, E$, $B$ tại hai điểm $B$, $F$. Các đường $A F$, $B E$ cắt nhau tại $I$; các đường $C I$, $B D$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $I$ là tâm nội tiếp tam giác $K A B$.