(AUS 6) Cho hàm số $f$ thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Nếu $x\gt y$ và $f(y)-y\ge v\ge f(x)-x$ thì $f(z)=v+z$ với một số $z$ nằm giữa $x$ và $y$.
(ii) Phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm, và trong các nghiệm của phương trình này có một nghiệm không nhỏ hơn tất cả các nghiệm khác;
(iii) $f(0)=1$.
(iv) $f(1987)\le1988$.
(v) $f(x)f(y)=f(xf(y)+yf(x)-xy)$.
Tìm $f(1987)$.
(USA 3) Trong một bữa tiệc có $n$ cặp vợ chồng tham dự, mỗi người nói chuyện với mọi người khác trong bữa tiệc trừ vợ hoặc chồng mình. Các cuộc trò chuyện diễn ra trong những tập người, hay nhóm $C_1,C_2,\ldots,C_k$, có tính chất sau: không có cặp vợ chồng nào cùng thuộc một nhóm, nhưng với mỗi cặp người khác thì có đúng một nhóm chứa cả hai người. Chứng minh rằng nếu $n\ge4$ thì $k\ge2n$.
(FIN 3) Có tồn tại đa thức bậc hai $p(x,y)$ theo hai biến sao cho mỗi số nguyên không âm $n$ bằng $p(k,m)$ với đúng một cặp có thứ tự $(k,m)$ gồm các số nguyên không âm hay không?
(FRA 5) Cho hình hộp $ABCDEFGH$ với $AE\parallel BF\parallel CG\parallel DH$. Chứng minh bất đẳng thức
$$AF+AH+AC\le AB+AD+AE+AG.$$
Dấu bằng xảy ra trong những trường hợp nào?
(GBR 1) Tìm, có chứng minh, điểm $P$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $BL^2+CM^2+AN^2$ nhỏ nhất, trong đó $L,M,N$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $P$ đến $BC,CA,AB$.
(GRE 4) Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là độ dài các cạnh của một tam giác và $2S=a+b+c$ thì
$$\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b}\ge\left(\frac23\right)^{n-2}S^{n-1},\qquad n\ge1.$$
(NET 1) Cho năm số thực $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$. Chứng minh rằng luôn có thể tìm được năm số thực $v_0,v_1,v_2,v_3,v_4$ thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $u_i-v_i\in\mathbb N$.
(ii) $\sum_{0\le i\lt j\le4}(v_i-v_j)^2\lt 4$.
(HUN 1) (a) Cho $(m,k)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $a_1,a_2,\ldots,a_m$ và $b_1,b_2,\ldots,b_k$ sao cho mỗi tích $a_ib_j$ ($i=1,2,\ldots,m$; $j=1,2,\ldots,k$) cho một số dư khác nhau khi chia cho $mk$.
(b) Cho $(m,k)\gt 1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a_1,a_2,\ldots,a_m$ và $b_1,b_2,\ldots,b_k$, phải có hai tích $a_ib_j$ và $a_sb_t$ ($(i,j)\ne(s,t)$) cho cùng số dư khi chia cho $mk$.
(HUN 2) Có tồn tại một tập $M$ trong không gian Euclid thông thường sao cho với mọi mặt phẳng $\lambda$, giao $M\cap\lambda$ là hữu hạn và khác rỗng hay không?
(ICE 3) Cho $S_1$ và $S_2$ là hai mặt cầu có bán kính khác nhau và tiếp xúc ngoài. Hai mặt cầu nằm trong một hình nón $C$, và mỗi mặt cầu tiếp xúc với hình nón theo một đường tròn đầy đủ. Trong hình nón còn có $n$ khối cầu xếp thành một vòng sao cho mỗi khối cầu tiếp xúc với hình nón $C$, tiếp xúc ngoài với cả hai mặt cầu $S_1$ và $S_2$, đồng thời tiếp xúc với hai khối cầu kề nó. Những giá trị nào của $n$ là có thể?
(POL 1) Tìm số cách phân hoạch tập $\{1,2,\ldots,n\}$ thành ba tập con $A_1,A_2,A_3$, trong đó một số tập có thể rỗng, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Sau khi sắp các phần tử của mỗi tập con theo thứ tự tăng dần, cứ hai phần tử liên tiếp trong bất kỳ tập con nào đều khác tính chẵn lẻ.
(ii) Nếu cả $A_1,A_2,A_3$ đều khác rỗng thì có đúng một tập có phần tử nhỏ nhất là số chẵn.
(POL 5) Cho tam giác không đều $ABC$, các đỉnh được liệt kê theo chiều ngược kim đồng hồ. Tìm quỹ tích trọng tâm của các tam giác đều $A'B'C'$ (các đỉnh được liệt kê theo chiều ngược kim đồng hồ) sao cho các bộ ba điểm $A,B',C'$; $A',B,C'$; và $A',B',C$ thẳng hàng.
(GDR 2) (IMO5) Có thể đặt $1987$ điểm trong mặt phẳng Euclid sao cho khoảng cách giữa mỗi cặp điểm là số vô tỉ và mỗi bộ ba điểm xác định một tam giác không suy biến có diện tích hữu tỉ hay không?
(FRG 2) (IMO3) Giả sử $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k\gt 1$, tồn tại các số nguyên $e_i$ không đồng thời bằng $0$ và thỏa mãn $|e_i|\lt k$ sao cho
$$|e_1x_1+e_2x_2+\cdots+e_nx_n|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}.$$
(FRG 3) (IMO1) Cho $S$ là một tập có $n$ phần tử. Ký hiệu số hoán vị của $S$ có đúng $k$ điểm bất động là $p_n(k)$. Chứng minh:
(a) $\sum_{k=0}^n kp_n(k)=n!$;
(b) $\sum_{k=0}^n(k-1)^2p_n(k)=n!$.
(ROM 1) Chứng minh rằng tồn tại một cách tô tập $M=\{1,2,\ldots,1987\}$ bằng bốn màu sao cho mọi cấp số cộng gồm $10$ số hạng trong tập $M$ đều không đơn sắc.
Cách phát biểu khác. Cho $M=\{1,2,\ldots,1987\}$. Chứng minh rằng có một hàm $f:M\to\{1,2,3,4\}$ không hằng trên mọi tập gồm $10$ số hạng thuộc $M$ lập thành một cấp số cộng.
(ROM 4) Với mỗi số nguyên $r\ge1$, xác định số nguyên nhỏ nhất $h(r)\ge1$ sao cho với mọi phân hoạch tập $\{1,2,\ldots,h(r)\}$ thành $r$ lớp, tồn tại các số nguyên $a\ge0$, $1\le x\le y$ sao cho $a+x,a+y,a+x+y$ thuộc cùng một lớp.
(USS 2) Cho $\alpha,\beta,\gamma$ là các số thực dương sao cho $\alpha+\beta+\gamma\lt \pi$, $\alpha+\beta\gt \gamma$, $\beta+\gamma\gt \alpha$, $\gamma+\alpha\gt \beta$. Chứng minh rằng từ các đoạn thẳng có độ dài $\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$ có thể dựng được một tam giác và diện tích của nó không lớn hơn
$$\frac18(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma).$$
(USS 3) (IMO6) Cho $f(x)=x^2+x+p$, $p\in\mathbb N$. Chứng minh rằng nếu các số $f(0),f(1),\ldots,f([\sqrt{p/3}])$ đều là số nguyên tố thì tất cả các số $f(0),f(1),\ldots,f(p-2)$ đều là số nguyên tố.