(AUS 2) IMO2 Cho $ABC$ là một tam giác. Đường phân giác góc $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $A_1$. Các điểm $B_1$ và $C_1$ được định nghĩa tương tự. Gọi $AA_1$ cắt các đường phân giác của hai góc ngoài tại $B$ và $C$ ở điểm $A^0$. Định nghĩa $B^0$ và $C^0$ tương tự. Nếu $S_{X_1X_2\ldots X_n}$ là diện tích đa giác $X_1X_2\ldots X_n$, chứng minh rằng
$$S_{A^0B^0C^0}=2S_{AC_1BA_1CB_1}\ge4S_{ABC}.$$
(AUS 3) Ali Barber, một người buôn thảm, có một tấm thảm hình chữ nhật chưa biết kích thước. Không may, thước dây của ông bị hỏng và ông không có dụng cụ đo nào khác. Tuy nhiên, ông thấy rằng nếu trải phẳng tấm thảm trên sàn của một trong hai nhà kho thì mỗi góc thảm chạm một bức tường khác nhau của căn phòng đó. Nếu hai phòng có kích thước 38 feet nhân 55 feet và 50 feet nhân 55 feet, kích thước tấm thảm là bao nhiêu?
(AUS 4) Ali Barber, một người buôn thảm, có một tấm thảm hình chữ nhật chưa biết kích thước. Không may, thước dây của ông bị hỏng và ông không có dụng cụ đo nào khác. Tuy nhiên, ông thấy rằng nếu trải phẳng tấm thảm trên sàn của một trong hai nhà kho thì mỗi góc thảm chạm một bức tường khác nhau của căn phòng đó. Ông biết các cạnh tấm thảm có độ dài là số nguyên feet và hai nhà kho có cùng chiều dài chưa biết, nhưng chiều rộng lần lượt là 38 feet và 50 feet. Kích thước tấm thảm là bao nhiêu?
(BUL 3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\gt 1$, phương trình
$$\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{x^2}{2!}+\frac{x}{1!}+1=0$$
không có nghiệm hữu tỉ.
(COL 1) Xét đa thức $p(x)=x^n+nx^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n$ có tất cả các nghiệm đều thực. Nếu $r_1^{16}+r_2^{16}+\cdots+r_n^{16}=n$, trong đó $r_j$ là các nghiệm của $p(x)$, hãy tìm tất cả các nghiệm đó.
(CZS 1) Với tam giác $ABC$, gọi $k$ là đường tròn ngoại tiếp có bán kính $r$. Các đường phân giác trong của các góc $A$, $B$ và $C$ của tam giác lần lượt cắt lại đường tròn $k$ tại các điểm $A'$, $B'$ và $C'$. Chứng minh bất đẳng thức
$$16Q^3\ge27r^4P,$$
trong đó $Q$ và $P$ lần lượt là diện tích các tam giác $A'B'C'$ và $ABC$.
(FIN 1) Chứng minh rằng hai điểm bất kỳ nằm trong một đa giác đều $n$ cạnh $E$ có thể được nối bằng hai cung tròn nằm trong $E$ và gặp nhau dưới một góc ít nhất bằng $\left(1-\frac2n\right)\pi$.
(FRA 2) Cho $R$ là một hình chữ nhật bằng hợp của hữu hạn hình chữ nhật $R_i$, $1\le i\le n$, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Các cạnh của mỗi hình chữ nhật $R_i$ song song với các cạnh của $R$.
(ii) Phần trong của hai hình chữ nhật $R_i$ khác nhau bất kỳ không giao nhau.
(iii) Mỗi $R_i$ có ít nhất một cạnh có độ dài nguyên.
Chứng minh rằng $R$ có ít nhất một cạnh có độ dài nguyên.
(FRA 4) Với mọi số nguyên $n$, $n\ge0$, tồn tại các số nguyên xác định duy nhất $a_n,b_n,c_n$ sao cho
$$\left(1+4\sqrt[3]2-4\sqrt[3]4\right)^n=a_n+b_n\sqrt[3]2+c_n\sqrt[3]4.$$
Chứng minh rằng $c_n=0$ suy ra $n=0$.
(GRE 3) Cho $g:\mathbb C\to\mathbb C$, $w\in\mathbb C$, $a\in\mathbb C$, $w^3=1$ $(w\ne1)$. Chứng minh rằng có một và chỉ một hàm $f:\mathbb C\to\mathbb C$ sao cho
$$f(z)+f(wz+a)=g(z),\qquad z\in\mathbb C.$$
Tìm hàm $f$.
(HUN 3) Tại $n$ điểm phân biệt của một đường đua tròn có $n$ chiếc xe sẵn sàng xuất phát. Mỗi xe chạy với tốc độ không đổi và đi hết một vòng trong một giờ. Khi nghe tín hiệu xuất phát, mỗi xe chọn một hướng và lập tức bắt đầu chạy. Nếu hai xe gặp nhau, cả hai đổi hướng và tiếp tục chạy mà không giảm tốc độ.
Chứng minh rằng có một thời điểm tất cả các xe đều ở điểm xuất phát của mình.
(ICE 3) IMO4 Tứ giác $ABCD$ có các tính chất sau:
(i) $AB=AD+BC$;
(ii) có một điểm $P$ ở bên trong, với khoảng cách $x$ đến cạnh $CD$, sao cho $AP=x+AD$ và $BP=x+BC$.
Chứng minh rằng
$$\frac1{\sqrt x}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.$$
(IND 2) Một tứ giác hai tâm là tứ giác vừa nội tiếp được một đường tròn vừa ngoại tiếp được một đường tròn. Chứng minh rằng đối với tứ giác như vậy, tâm của hai đường tròn tương ứng thẳng hàng với giao điểm của hai đường chéo.
(IRE 1) Cho $a,b,c,d,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $a^2+b^2+c^2+d^2=1989$, $a+b+c+d=m^2$, và số lớn nhất trong $a,b,c,d$ là $n^2$. Hãy xác định và chứng minh các giá trị của $m$ và $n$.
(ISR 1) Tập các số thực $\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $a_0=a_n=0$;
(ii) với $1\le k\le n-1$,
$$a_k=c+\sum_{i=k}^{n-1}a_{i-k}(a_i+a_{i+1}).$$
Chứng minh rằng $c\le\frac1{4n}$.
(MON 1) Cho bảy điểm trong mặt phẳng, một số điểm được nối với nhau bằng các đoạn thẳng sao cho:
(i) trong ba điểm bất kỳ đã cho, có hai điểm được nối bằng một đoạn thẳng;
(i) số đoạn thẳng là nhỏ nhất.
Một hình thỏa mãn (i) và (ii) có bao nhiêu đoạn thẳng? Hãy cho một ví dụ về hình như vậy.
(MON 4) Cho một đa giác lồi $A_1A_2\ldots A_n$ có diện tích $S$ và một điểm $M$ trong cùng mặt phẳng, hãy xác định diện tích đa giác $M_1M_2\ldots M_n$, trong đó $M_i$ là ảnh của $M$ qua phép quay $R_{A_i}^{\alpha}$ quanh $A_i$ một góc $\alpha$, $i=1,2,\ldots,n$.
(MON 6) Mỗi ô của một bảng $m\times n$ được ghi một số nguyên dương. Phép biến đổi được phép là cộng một số nguyên $k$ vào mỗi số trong hai ô kề nhau sao cho không thu được số âm. (Hai ô kề nhau nếu có một cạnh chung.) Tìm điều kiện cần và đủ để có thể đưa tất cả các số về không bằng một dãy hữu hạn phép biến đổi.
(NET 1) IMO3 Cho một tập $S$ trong mặt phẳng gồm $n$ điểm và thỏa mãn các điều kiện:
(i) không có ba điểm nào của $S$ thẳng hàng,
(ii) với mỗi điểm $P$ của $S$, có ít nhất $k$ điểm trong $S$ có cùng khoảng cách đến $P$,
chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng:
$$k\lt \frac12+\sqrt{2n}.$$