(BEL 3) Xét một đa giác đều $2n$ cạnh và $n$ đường chéo đi qua tâm của nó. Gọi $P$ là một điểm trên đường tròn nội tiếp và $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các góc nhìn những đường chéo nói trên từ điểm $P$. Chứng minh rằng
$$\sum_{i=1}^n\tan^2a_i=2n\frac{\cos^2\frac{\pi}{2n}}{\sin^4\frac{\pi}{2n}}.$$
(ROM 1; IMO 2) Cho $a$ và $b$ là cơ số của hai hệ đếm và đặt
$$A_n=\overline{x_1x_2\ldots x_n}^{(a)},\quad A_{n+1}=\overline{x_0x_1x_2\ldots x_n}^{(a)},$$
$$B_n=\overline{x_1x_2\ldots x_n}^{(b)},\quad B_{n+1}=\overline{x_0x_1x_2\ldots x_n}^{(b)},$$
là các số trong hai hệ đếm có cơ số tương ứng $a$ và $b$, trong đó $x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n$ đều là chữ số hợp lệ trong cả hệ cơ số $a$ lẫn hệ cơ số $b$. Giả sử cả $x_0$ và $x_1$ đều khác không. Chứng minh rằng $a\gt b$ khi và chỉ khi
$$\frac{A_n}{A_{n+1}}\lt \frac{B_n}{B_{n+1}}.$$
(BUL 6; IMO 5) Trong tứ diện $SABC$, góc $BSC$ là góc vuông và hình chiếu của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $ABC$ là giao điểm các đường cao của tam giác $ABC$. Gọi $z$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
$$SA^2+SB^2+SC^2\ge18z^2.$$
(CZS 3) Cho $M$ là điểm nằm trong tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng
$$\overrightarrow{MA}\operatorname{vol}(MBCD)+\overrightarrow{MB}\operatorname{vol}(MACD)+\overrightarrow{MC}\operatorname{vol}(MABD)+\overrightarrow{MD}\operatorname{vol}(MABC)=0$$
($\operatorname{vol}(PQRS)$ ký hiệu thể tích tứ diện $PQRS$).
(FRA 1) Trong tam giác $ABC$, gọi $B'$ và $C'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$ và $AB$, còn $H$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB'C'$, $BC'H$ và $B'CH$ có một điểm chung $I$ và đường thẳng $HI$ đi qua trung điểm đoạn $B'C'$.
(POL 2; IMO 1) Cho điểm $M$ trên cạnh $AB$ của tam giác $ABC$. Gọi $r_1$ và $r_2$ lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác $ACM$ và $BCM$, còn $\rho_1$ và $\rho_2$ lần lượt là bán kính các đường tròn bàng tiếp của tam giác $ACM$ và $BCM$ ứng với các cạnh $AM$ và $BM$. Gọi $r$ và $\rho$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh $AB$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
$$\frac{r_1r_2}{\rho_1\rho_2}=\frac r\rho.$$
(GDR 3) Cho $u_1,u_2,\ldots,u_n,v_1,v_2,\ldots,v_n$ là các số thực. Chứng minh rằng
$$1+\sum_{i=1}^n(u_i+v_i)^2\le\frac43\left(1+\sum_{i=1}^nu_i^2\right)\left(1+\sum_{i=1}^nv_i^2\right).$$
Dấu bằng xảy ra trong trường hợp nào?
(SWE 4; IMO 3) Cho dãy số thực $1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots$. Xét dãy $b_1,b_2,\ldots$ xác định bởi:
$$b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}.$$
Chứng minh rằng:
(a) Với mọi số tự nhiên $n$, ta có $0\le b_n\lt 2$.
(b) Với mỗi số tùy ý $0\le b\lt 2$, tồn tại một dãy $a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots$ có tính chất trên sao cho $b_n\gt b$ đúng với vô hạn số tự nhiên $n$.
(SWE 6) Cho $P,Q,R$ là các đa thức và $S(x)=P(x^3)+xQ(x^3)+x^2R(x^3)$ là một đa thức bậc $n$ có các nghiệm phân biệt $x_1,\ldots,x_n$. Hãy dùng các đa thức $P,Q,R$ để xây dựng một đa thức $T$ bậc $n$ có các nghiệm $x_1^3,x_2^3,\ldots,x_n^3$.
(USS 4; IMO 6) Cho 100 điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các tam giác có các đỉnh được chọn từ 100 điểm đã cho. Chứng minh rằng nhiều nhất 70% số tam giác này là tam giác nhọn.