(FRA 1) Tìm tất cả nghiệm của hệ $n$ phương trình với $n$ ẩn sau:
$$\begin{aligned}x_1|x_1|-(x_1-a)|x_1-a|&=x_2|x_2|,\\x_2|x_2|-(x_2-a)|x_2-a|&=x_3|x_3|,\\&\cdots\\x_n|x_n|-(x_n-a)|x_n-a|&=x_1|x_1|,\end{aligned}$$
trong đó $a$ là một số cho trước.
(CAN 2) Chứng minh:
(a) Có vô số bộ ba số nguyên dương $m,n,p$ sao cho $4mn-m-n=p^2-1$.
(b) Không có các số nguyên dương $m,n,p$ sao cho $4mn-m-n=p^2$.
(MON 1) IMO5 Cho $d$ là tổng độ dài tất cả các đường chéo của một đa giác lồi có $n$ $(n\gt 3)$ đỉnh và $p$ là chu vi của đa giác. Chứng minh rằng
$$\frac{n-3}{2}\lt \frac{d}{p}\lt \frac12\left(\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2\right).$$
(CAN 3) Cho $c$ là một số nguyên dương. Dãy $\{f_n\}$ được định nghĩa như sau:
$$f_1=1,\quad f_2=c,\quad f_{n+1}=2f_n-f_{n-1}+2\qquad(n\ge2).$$
Chứng minh rằng với mỗi $k\in\mathbb N$, tồn tại $r\in\mathbb N$ sao cho $f_kf_{k+1}=f_r$.
(FRG 5)
(a) Xác định xem có thể đánh số các ô của bàn cờ $8\times8$ bằng các số $1,2,\ldots,64$ sao cho tổng bốn số trong mỗi phần của bàn cờ có một trong các dạng
chia hết cho bốn hay không.
(b) Giải bài toán tương tự với các dạng
(ROM 2) IMO3 Trong một mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt $O$ và $A$. Với mỗi điểm $X\ne O$ của mặt phẳng, ký hiệu $\alpha(X)$ là góc $AOX$ đo bằng radian $(0\le\alpha(X)\lt 2\pi)$ và $C(X)$ là đường tròn tâm $O$, bán kính $OX+\frac{\alpha(X)}{OX}$. Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hữu hạn màu. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $X$ với $\alpha(X)\gt 0$ sao cho màu của điểm đó xuất hiện ở đâu đó trên đường tròn $C(X)$.
(POL 2) Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=\frac{\sqrt3}{2}$. Chứng minh rằng hệ phương trình
$$\begin{aligned}\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}&=1,\\\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}&=1,\\\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}&=1,\end{aligned}$$
có đúng một nghiệm thực $(x,y,z)$.
(CAN 1) Cho $n$ là một số tự nhiên và $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ là các số nguyên đôi một phân biệt. Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn
$$(x-a_1)\cdot(x-a_2)\cdots(x-a_{2n})=(-1)^n(n!)^2.$$
(ROM 5) IMO4 Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi sao cho đường tròn đường kính $AB$ tiếp xúc với đường thẳng $CD$. Chứng minh rằng đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi hai đường thẳng $BC$ và $AD$ song song.
(LUX 2) Các góc của tam giác $ABC$ cho trước đều nhỏ hơn $120^\circ$. Dựng các tam giác đều $AFB$, $BDC$ và $CEA$ ở phía ngoài $\triangle ABC$.
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$, $BE$ và $CF$ cùng đi qua một điểm $S$.
(b) Chứng minh rằng $SD+SE+SF=2(SA+SB+SC)$.
(POL 1) IMO6 Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $a\lt b\lt c\lt d$, $ad=bc$ và $a+d=2^k$, $b+c=2^m$ với các số nguyên $k$ và $m$ nào đó. Chứng minh rằng $a=1$.
(FRG 3) Trong một hoán vị $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ của tập $1,2,\ldots,n$, ta gọi cặp $(x_i,x_j)$ là nghịch thế nếu $i\lt j$ và $x_i\gt x_j$. Gọi $d(n,k)$ là số hoán vị như vậy có đúng $k$ nghịch thế. Tìm $d(n,2)$ và $d(n,3)$.
(USA 5) Bên trong tam giác $ABC$ có ba đường tròn $k_1,k_2,k_3$, mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác và với đường tròn nội tiếp $k$ của tam giác. Các bán kính của $k_1,k_2,k_3$ là $1$, $4$ và $9$. Xác định bán kính của $k$.
(CAN 5) Mảng số tam giác $(a_{n,k})$ được cho bởi $a_{n,1}=1/n$, với $n=1,2,\ldots$, $a_{n,k+1}=a_{n-1,k}-a_{n,k}$, với $1\le k\le n-1$. Tìm trung bình điều hòa của hàng thứ 1985.
