Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2021

Đặt $n$ là một số nguyên và đặt $A$ là tập con của $\left\{0,1,2,3, \ldots, 5^{n}\right\}$ gồm $4 n+2$ số. Chứng minh rằng tồn tại $a, b, c \in A$ sao cho $a\lt b\lt c$ và $c+2 a\gt 3 b$.

Với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, hãy xem xét bảng $n \times n$ với phần tử $\left\lfloor\frac{i j}{n+1}\right\rfloor$ tại giao điểm của hàng $i$ và cột $j$, với mọi $i=1, \ldots, n$ và $j=1, \ldots, n$. Xác định tất cả các số nguyên $n \geqslant 1$ mà tổng của $n^{2}$ phần tử trong bảng bằng $\frac{1}{4} n^{2}(n-1)$.

Cho số nguyên dương $n$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor$ trên tất cả các hoán vị $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ của $(1,2, \ldots, n)$.

Chứng minh rằng với mọi số thực $x_{1}, \ldots, x_{n}$, bất đẳng thức sau đúng:

$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{\left|x_{i}-x_{j}\right|} \leqslant \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{\left|x_{i}+x_{j}\right|}
$$

Đặt $n \geqslant 2$ là một số nguyên và đặt $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là các số thực dương sao cho $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1$. Chứng minh rằng

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{1-a_{k}}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k-1}\right)^{2}\lt \frac{1}{3}
$$

Đặt $A$ là tập hợp hữu hạn gồm các số nguyên (không nhất thiết phải dương) và đặt $m \geqslant 2$ là một số nguyên. Giả sử rằng tồn tại các tập con không rỗng $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots, B_{m}$ của $A$ có tổng các phần tử lần lượt bằng $m^{1}, m^{2}, m^{3}, \ldots, m^{m}$ tương ứng. Chứng minh rằng $A$ chứa ít nhất $m / 2$ phần tử.

Đặt $n \geqslant 1$ là một số nguyên và đặt $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ là $n+2$ số thực không âm thỏa mãn $x_{i} x_{i+1}-x_{i-1}^{2} \geqslant 1$ với tất cả $i=1,2, \ldots, n$. Cho thấy điều đó

$$
x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}\gt \left(\frac{2 n}{3}\right)^{3 / 2}
$$

Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$
(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a))=f\left(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\right)-f\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right)
$$

cho mọi số thực $a, b, c$.

Giả sử $S$ là một tập hợp vô hạn của các số nguyên dương, sao cho tồn tại bốn đôi một phân biệt $a, b, c, d \in S$ với $\operatorname{gcd}(a, b) \neq \operatorname{gcd}(c, d)$. Chứng minh rằng tồn tại ba đôi một phân biệt $x, y, z \in S$ sao cho $\operatorname{gcd}(x, y)=\operatorname{gcd}(y, z) \neq \operatorname{gcd}(z, x)$.

Cho $n \geqslant 3$ là một số nguyên. Số nguyên $m \geqslant n+1$ được gọi là $n$-đa sắc nếu, với vô số viên bi thuộc mỗi trong $n$ màu $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}$, có thể xếp $m$ viên bi quanh một đường tròn sao cho mọi nhóm gồm $n+1$ viên bi liên tiếp đều có ít nhất một viên màu $C_{i}$, với mỗi $i=1, \ldots, n$.

Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số nguyên dương không phải là $n$-đa sắc. Tìm số lớn nhất trong số đó.

Một người chơi tráo cốc có 2021 chiếc cốc úp, đánh số từ 1 đến 2021, được xếp theo thứ tự tùy ý quanh một đường tròn. Người đó thực hiện 2021 lượt; ở lượt thứ $k$, hoán đổi vị trí hai chiếc cốc kề chiếc cốc mang số $k$.

Chứng minh rằng tồn tại $k$ sao cho ở lượt thứ $k$, hai chiếc cốc mang số $a$ và $b$ được hoán đổi và thỏa mãn $a\lt k\lt b$.

Vương quốc Anisotropy bao gồm $n$ thành phố. Cứ hai thành phố thì tồn tại chính xác một con đường một chiều nối liền chúng. Chúng ta nói rằng đường đi từ $X$ đến $Y$ là một dãy các con đường sao cho người ta có thể di chuyển từ $X$ đến $Y$ dọc theo dãy này mà không cần quay lại thành phố đã ghé thăm. Một tập hợp các đường đi được gọi là đa dạng nếu không có đường nào thuộc hai hoặc nhiều đường đi trong tập hợp đó.

Đặt $A$ và $B$ là hai thành phố phân biệt ở Anisotropy. Đặt $N_{A B}$ biểu thị số lượng đường đi cực đại trong một tập hợp các đường đi đa dạng từ $A$ đến $B$. Tương tự, hãy đặt $N_{B A}$ biểu thị số lượng đường đi cực đại trong một tập hợp các đường đi đa dạng từ $B$ đến $A$. Chứng minh rằng đẳng thức $N_{A B}=N_{B A}$ đúng khi và chỉ khi số đường đi ra từ $A$ bằng số đường đi ra từ $B$.

Đặt $n$ và $k$ là hai số nguyên với $n\gt k \geqslant 1$. Có $2 n+1$ học sinh đứng thành vòng tròn. Mỗi học sinh $S$ có người lân cận $2 k$ - cụ thể là các học sinh $k$ gần $S$ nhất ở bên phải và các học sinh $k$ gần $S$ nhất ở bên trái.

Giả sử $n+1$ của học sinh là nữ và $n$ còn lại là nam. Chứng minh rằng có một cô gái có ít nhất $k$ cô gái trong số những người người lân cận của cô ấy.

Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi một trò chơi trên một lưới ô vuông vô hạn. Đầu tiên người thợ săn tô màu các ô với hữu hạn nhiều màu. Sau đó, con thỏ bí mật chọn một ô để bắt đầu. Mỗi phút, con thỏ báo cáo màu sắc của ô hiện tại cho người thợ săn, sau đó bí mật di chuyển đến một ô kề mà nó chưa từng ghé thăm trước đó (hai ô là kề nếu chúng có chung một cạnh). Người thợ săn sẽ thắng nếu sau một khoảng thời gian hữu hạn

- con thỏ không thể di chuyển; hoặc
- người thợ săn có thể xác định được ô mà con thỏ bắt đầu.

Quyết định xem có chiến lược chiến thắng nào dành cho thợ săn hay không.

Hãy xem xét một hình vuông $3 m \times 3 m$ ca rô, trong đó $m$ là một số nguyên lớn hơn 1. Một con ếch ngồi ở ô góc dưới bên trái $S$ và muốn đến ô $F$ ở góc trên bên phải. Con ếch có thể nhảy từ ô bất kỳ sang ô tiếp theo ở bên phải hoặc ô tiếp theo trở lên.

Một số ô có thể dính và ếch sẽ bị mắc kẹt khi nhảy vào ô đó. Một tập hợp $X$ gồm các ô được gọi là chặn nếu con ếch không thể tiếp cận $F$ từ $S$ khi tất cả các ô của $X$ đều bị dính. Tập chặn là cực tiểu nếu nó không chứa tập chặn nhỏ hơn.
(a) Chứng minh rằng tồn tại tập chặn cực tiểu chứa ít nhất $3 m^{2}-3 m$ ô.
(b) Chứng minh rằng mọi tập chặn cực tiểu đều chứa nhiều nhất $3 m^{2}$ ô.

Lưu ý. Một ví dụ về tập chặn cực tiểu cho $m=2$ được hiển thị bên dưới. Các ô của tập hợp $X$ được đánh dấu bằng các chữ cái $x$.

| | | | | | $F$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x$ | $x$ | | | | |
| | | $x$ | | | |
| | | | $x$ | | |
| | | | | $x$ | |
| $S$ | | $x$ | | | |

Hình minh họa gốc cho ví dụ:

Xác định $N$ lớn nhất tồn tại một bảng $T$ gồm các số nguyên với $N$ hàng và 100 cột có các thuộc tính sau:
(i) Mỗi hàng chứa các số $1,2, \ldots, 100$ theo một thứ tự nào đó.
(ii) Với hai hàng phân biệt bất kỳ $r$ và $s$, luôn tồn tại một cột $c$ sao cho $|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2$.

Ở đây $T(r, c)$ có nghĩa là số tại giao điểm của hàng $r$ và cột $c$.

Cho $A B C D$ là hình bình hành sao cho $A C=B C$. Một điểm $P$ được chọn trên phần mở rộng của đoạn $A B$ ngoài $B$. đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A C D$ lại cắt đoạn $P D$ tại $Q$, và đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A P Q$ lại cắt đoạn $P C$ tại $R$. Chứng minh rằng các đường thẳng $C D, A Q$ và $B R$ đồng quy.

Cho $A B C D$ là một tứ giác lồi ngoại tiếp một đường tròn có tâm $I$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A C I$. Các phần mở rộng của $B A$ và $B C$ ngoài $A$ và $C$ lần lượt gặp $\omega$ tại $X$ và $Z$. Các phần mở rộng của $A D$ và $C D$ ngoài $D$ lần lượt gặp $\omega$ tại $Y$ và $T$. Chứng minh rằng chu vi của các tứ giác (có thể tự cắt nhau) $A D T X$ và $C D Y Z$ bằng nhau.

Phiên bản 1. Cho $n$ là một số nguyên dương cố định và gọi S là tập hợp các điểm $(x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ Descartes sao cho cả hai tọa độ $x$ và $y$ đều là các số nguyên không âm nhỏ hơn $2 n$ (do đó $|\mathrm{S}|=4 n^{2}$ ). Giả sử rằng $\mathcal{F}$ là một tập hợp bao gồm $n^{2}$ tứ giác sao cho tất cả các đỉnh của chúng nằm trong $S$ và mỗi điểm trong $S$ là một đỉnh của chính xác một trong các tứ giác trong $\mathcal{F}$.

Xác định tổng diện tích lớn nhất có thể có của tất cả $n^{2}$ tứ giác trong $\mathcal{F}$.
Phiên bản 2. Giả sử $n$ là một số nguyên dương cố định và $\mathbf{S}$ là tập hợp các điểm $(x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ Descartes sao cho cả hai tọa độ $x$ và $y$ đều các số nguyên không âm nhỏ hơn $2 n$ (do đó $|\mathrm{S}|=4 n^{2}$ ). Giả sử rằng $\mathcal{F}$ là một tập hợp các đa giác sao cho tất cả các đỉnh của các đa giác trong $\mathcal{F}$ đều nằm trong S và mỗi điểm trong S là một đỉnh của chính xác một trong các đa giác trong $\mathcal{F}$.

Cho $A B C D$ là tứ giác nội tiếp trong đường tròn $\Omega$. Cho tiếp tuyến của $\Omega$ tại $D$ lần lượt cắt các tia $B A$ và $B C$ tại các điểm $E$ và $F$. Một điểm $T$ được chọn bên trong tam giác $A B C$ sao cho $T E \| C D$ và $T F \| A D$. Cho $K \neq D$ là một điểm trên đoạn $D F$ sao cho $T D=T K$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A C, D T$ và $B K$ cắt nhau tại một điểm.