Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1992

(AUS 2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, có vô hạn cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho (i) $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau; (ii) $y$ là ước của $x^2+m$; (iii) $x$ là ước của $y^2+m$.

(CHN 1) Gọi $\mathbb R^+$ là tập tất cả các số thực không âm. Cho hai số thực dương $a$ và $b$, giả sử ánh xạ $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ thỏa mãn phương trình hàm
$$f(f(x))+af(x)=b(a+b)x.$$
Chứng minh rằng phương trình này có nghiệm duy nhất.

(CHN 2) Hai đường chéo của tứ giác $ABCD$ vuông góc: $AC\perp BD$. Dựng ra ngoài trên các cạnh của nó bốn hình vuông $ABEF$, $BCGH$, $CDIJ$, $DAKL$. Giao điểm của các cặp đường thẳng $CL,DF$; $DF,AH$; $AH,BJ$; $BJ,CL$ được ký hiệu lần lượt là $P_1,Q_1,R_1,S_1$, và giao điểm của các cặp đường thẳng $AI,BK$; $BK,CE$; $CE,DG$; $DG,AI$ được ký hiệu lần lượt là $P_2,Q_2,R_2,S_2$. Chứng minh rằng $P_1Q_1R_1S_1\cong P_2Q_2R_2S_2$.

(CHN 3) IMO3. Cho chín điểm trong không gian, không có bốn điểm nào đồng phẳng. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ sao cho với mọi cách tô đỏ hoặc xanh $n$ cạnh nối giữa chín điểm này, luôn tồn tại một tam giác có tất cả các cạnh cùng màu.

(COL 3) Cho tứ giác lồi $ABCD$ sao cho $AC=BD$. Dựng các tam giác đều trên các cạnh của tứ giác. Gọi $O_1,O_2,O_3,O_4$ là tâm các tam giác dựng lần lượt trên $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh rằng $O_1O_3$ vuông góc với $O_2O_4$.

(IND 2) IMO2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho
$$f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.

(IND 4) Ba đường tròn $G,G_1,G_2$ có quan hệ như sau: Hai đường tròn $G_1$ và $G_2$ tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm $W$ và cả hai cùng tiếp xúc trong với đường tròn $G$. Các điểm $A,B,C$ nằm trên đường tròn $G$ như sau: Đường thẳng $BC$ là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $G_1$ và $G_2$, còn đường thẳng $WA$ là tiếp tuyến chung trong tại $W$ của $G_1$ và $G_2$, với $W$ và $A$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng $W$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

(IND 5) Chứng minh rằng trong mặt phẳng tồn tại một đa giác lồi có $1992$ cạnh thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) độ dài các cạnh là $1,2,3,\ldots,1992$ theo một thứ tự nào đó;
(ii) đa giác có thể ngoại tiếp một đường tròn.

Cách phát biểu khác. Có tồn tại một đa giác $1992$ cạnh với độ dài các cạnh $1,2,3,\ldots,1992$ ngoại tiếp một đường tròn hay không? Trả lời câu hỏi tương tự cho đa giác $1990$ cạnh.

(IRN 1) Cho $f(x)$ là đa thức có hệ số hữu tỉ và $\alpha$ là số thực sao cho $\alpha^3-\alpha=f(\alpha)^3-f(\alpha)=33^{1992}$. Chứng minh rằng với mỗi $n\ge1$,
$$(f^{(n)}(\alpha))^3-f^{(n)}(\alpha)=33^{1992},$$
trong đó $f^{(n)}(x)=f(f(\ldots f(x)))$, và $n$ là số nguyên dương.

(ITA 1) IMO5. Cho $V$ là một tập con hữu hạn của không gian Euclid gồm các điểm $(x,y,z)$ có tọa độ nguyên. Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là các hình chiếu của $V$ lên các mặt phẳng $yz,xz,xy$. Chứng minh rằng
$$|V|^2\le |S_1||S_2||S_3|$$
($|X|$ biểu thị số phần tử của $X$).

(JAP 2) Trong tam giác $ABC$, gọi $D$ và $E$ lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của $\angle ABC$ và $\angle ACB$ với các cạnh $AC,AB$. Xác định các góc $\angle A,\angle B,\angle C$ nếu
$$\angle BDE=24^\circ,\qquad\angle CED=18^\circ.$$

(NET 1) Cho $f,g$ và $a$ là các đa thức có hệ số thực, $f$ và $g$ là đa thức một biến còn $a$ là đa thức hai biến. Giả sử
$$f(x)-f(y)=a(x,y)(g(x)-g(y))$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.
Chứng minh rằng tồn tại đa thức $h$ sao cho $f(x)=h(g(x))$ với mọi $x\in\mathbb R$.

(NZL 1) IMO1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(p,q,r)$ sao cho $1\lt p\lt q\lt r$ và $(p-1)(q-1)(r-1)$ là ước của $(pqr-1)$.

(POL 2) Với mỗi số nguyên dương $x$, định nghĩa $g(x)$ là ước lẻ lớn nhất của $x$; $f(x)=x/2+x/g(x)$ nếu $x$ chẵn, và $f(x)=2^{(x+1)/2}$ nếu $x$ lẻ.
Lập dãy $x_1=1$, $x_{n+1}=f(x_n)$. Chứng minh rằng số $1992$ xuất hiện trong dãy này, xác định số $n$ nhỏ nhất sao cho $x_n=1992$, và xác định xem $n$ có duy nhất hay không.

(PRK 2) Có tồn tại tập $M$ có các tính chất sau hay không?
(i) Tập $M$ gồm $1992$ số tự nhiên.
(ii) Mỗi phần tử của $M$ và tổng của một số bất kỳ các phần tử đều có dạng $m^k$ ($m,k\in\mathbb N$, $k\ge2$).

(KOR 2) Chứng minh rằng $N=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ là hợp số.

(SWE 1) Gọi $\alpha(n)$ là số chữ số bằng một trong biểu diễn nhị phân của số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng:
(a) bất đẳng thức $\alpha(n^2)\le\frac12\alpha(n)(\alpha(n)+1)$ đúng;
(b) bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức với vô hạn số nguyên dương;
(c) tồn tại dãy $(n_i)_1^\infty$ sao cho $\alpha(n_i^2)/\alpha(n_i)\to0$ khi $i\to\infty$.
Các phần thay thế: Chứng minh rằng tồn tại dãy $(n_i)_1^\infty$ sao cho $\alpha(n_i^2)/\alpha(n_i)$ tiến tới
(d) $\infty$;
(e) một số thực tùy ý $\gamma\in(0,1)$;
(f) một số thực tùy ý $\gamma\ge0$.

(USA 2) Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chọn $x_1$ tùy ý trong $[0,1)$ và xác định dãy $x_1,x_2,x_3,\ldots$ bởi $x_{n+1}=0$ nếu $x_n=0$ và $x_{n+1}=1/x_n-[1/x_n]$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng
$$x_1+x_2+\cdots+x_n\lt \frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_3}+\cdots+\frac{F_n}{F_{n+1}},$$
trong đó $F_1=F_2=1$ và $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ với $n\ge1$.

(IRE 1) Cho $f(x)=x^8+4x^6+2x^4+28x^2+1$. Cho $p\gt 3$ là số nguyên tố và giả sử tồn tại số nguyên $z$ sao cho $p$ là ước của $f(z)$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $z_1,z_2,\ldots,z_8$ sao cho nếu
$$g(x)=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_8),$$
thì tất cả các hệ số của $f(x)-g(x)$ đều chia hết cho $p$.

(FRA 1) IMO4. Trong mặt phẳng, cho đường tròn $C$, đường thẳng $l$ tiếp xúc với $C$, và điểm $M$ trên $l$. Tìm quỹ tích các điểm $P$ có tính chất sau: Tồn tại hai điểm $Q$ và $R$ trên $l$ sao cho $M$ là trung điểm của $QR$ và $C$ là đường tròn nội tiếp của $PQR$.