Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1966

(USS, 1966) Chứng minh rằng trong mọi lục giác lồi có diện tích $S$, có thể kẻ một đường chéo cắt ra một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac16 S$.

(USS, 1966) Tìm hai chữ số tận cùng của tổng các lũy thừa bậc tám của $100$ số nguyên liên tiếp.

(USS, 1966) Cho đỉnh $A$ và trọng tâm $M$ của tam giác $ABC$. Tìm quỹ tích các đỉnh $B$ sao cho mọi góc của tam giác đều thuộc khoảng $[40^\circ,70^\circ]$.

(USS, 1966) Cho tứ diện $ABCD$ thỏa mãn $AB\perp CD$, $AC\perp BD$ và $AD\perp BC$. Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của tứ diện cùng nằm trên một mặt cầu.

(USS, 1966) Có thể chọn một tập gồm $100$ (hoặc $200$) điểm trên mặt biên của một hình lập phương sao cho tập này bất biến qua mọi phép đẳng cự biến hình lập phương thành chính nó hay không? Hãy giải thích.

(CZS) Cho $n>3$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Có nhất thiết tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất ba điểm đã cho và không chứa điểm nào khác đã cho ở bên trong hay không?

(GDR) Cho $n$ số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_1a_2\cdots a_n=1$, chứng minh rằng
$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)\ge2^n.$$

(BUL) Một lăng trụ tam giác đều có chiều cao $h$ và cạnh đáy dài $a$. Hai đáy đều có lỗ nhỏ ở tâm, và mặt trong của ba mặt bên thẳng đứng là các mặt gương. Ánh sáng đi vào qua lỗ nhỏ ở đáy trên, phản xạ trên mỗi mặt bên đúng một lần rồi đi ra qua lỗ ở đáy dưới. Tìm góc mà tia sáng đi vào và độ dài đường đi của nó bên trong lăng trụ.

(POL) Cho năm điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có bốn điểm trong số đó tạo thành một tứ giác lồi.

(USS) Chứng minh bất đẳng thức
$$\tan\frac{\pi\sin x}{4\sin\alpha}+\tan\frac{\pi\cos x}{4\cos\alpha}>1$$
với mọi $x,\alpha$ thỏa mãn $0\le x\le\pi/2$ và $\pi/6\lt y\lt \pi/3$.

(USS) Cho một đa giác phẳng lồi $\mathcal M$ có chu vi $l$ và diện tích $S$. Gọi $M(R)$ là tập hợp mọi điểm trong không gian nằm trong phạm vi khoảng cách không quá $R$ đến một điểm nào đó của $\mathcal M$. Chứng minh rằng thể tích $V(R)$ của tập này bằng
$$V(R)=\frac43\pi R^3+\frac\pi2 lR^2+2SR.$$

(USS) Với những cách bố trí nào của hai trụ tròn vô hạn thì giao của chúng nằm trong một mặt phẳng?

(USS) Có một túi đường, một cân hai đĩa và một quả cân 1 gam. Làm thế nào lấy được 1 kilôgam đường với số lần cân ít nhất có thể?

(ROM) Tìm $x$ sao cho
$$\frac{\sin3x\cos(60^\circ-4x)+1}{\sin(60^\circ-7x)-\cos(30^\circ+x)+m}=0,$$
trong đó $m$ là một số thực cố định.

(GDR) Phương trình $x=1964\sin x-189$ có bao nhiêu nghiệm thực?

(CZS) Có tồn tại số nguyên $z$ viết được theo hai cách khác nhau dưới dạng $z=x!+y!$, trong đó $x,y$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x\le y$ hay không?

(BUL) Tìm các chữ số $x,y,z$ sao cho đẳng thức $$\sqrt{\underbrace{\overline{xx\cdots x}}_{2n}-\underbrace{\overline{yy\cdots y}}_n}=\underbrace{\overline{zz\cdots z}}_n$$ đúng với ít nhất hai giá trị $n\in\mathbb N$, và trong trường hợp đó tìm tất cả các giá trị $n$ làm đẳng thức đúng.

(YUG) Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức $$\binom n2\sum_{i<j}\frac1{a_i a_j}\ge4\left(\sum_{i<j}\frac1{a_i+a_j}\right)^2$$ và tìm điều kiện của các số $a_i$ để dấu bằng xảy ra.

(POL) Tính số miền lớn nhất có thể chia một hình tròn thành bằng cách nối $n$ điểm trên đường tròn biên của nó.

(POL) Các điểm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn sao cho $AB$ là đường kính còn $CD$ thì không. Nếu các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ gặp nhau tại $P$, còn $AC$ và $BD$ gặp nhau tại $Q$, hãy chứng minh $PQ$ vuông góc với $AB$.