Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1993

(BRA 1) Chứng minh rằng tồn tại một tập hữu hạn $A\subset\mathbb R^2$ sao cho với mỗi $X\in A$, có các điểm $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{1993}$ trong $A$ sao cho khoảng cách giữa $X$ và $Y_i$ bằng $1$, với mọi $i$.

(CAN 2) Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ bằng $1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của $ABC$ và $p$ là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác trực tâm $A'B'C'$ của tam giác $ABC$.
Chứng minh rằng $p\le1-\frac13(1+r)^2$.
Nhận xét. Tam giác trực tâm là tam giác có các đỉnh là chân các đường cao của $ABC$.

(SPA 1) Xét tam giác $ABC$, đường tròn ngoại tiếp $k$ của nó có tâm $O$ và bán kính $R$, và đường tròn nội tiếp có tâm $I$ và bán kính $r$. Một đường tròn khác $k_c$ tiếp xúc với các cạnh $CA,CB$ lần lượt tại $D,E$, và tiếp xúc trong với $k$.

Chứng minh rằng tâm nội tiếp $I$ là trung điểm của $DE$.

(SPA 2) Trong tam giác $ABC$, cho $D,E$ là các điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\angle BAD=\angle CAE$. Nếu $M,N$ lần lượt là tiếp điểm với $BC$ của các đường tròn nội tiếp hai tam giác $ABD$ và $ACE$, chứng minh rằng
$$\frac1{MB}+\frac1{MD}=\frac1{NC}+\frac1{NE}.$$

(FIN 3; IMO 3) Trên một bàn cờ vô hạn, trò chơi một người được tiến hành như sau: Ban đầu có $n^2$ quân chiếm $n^2$ ô tạo thành một hình vuông cạnh $n$. Nước đi duy nhất được phép là nhảy theo phương ngang hoặc dọc qua một ô có quân đến một ô trống, và quân bị nhảy qua được bỏ đi. Với những số nguyên dương $n$ nào, trò chơi có thể kết thúc khi chỉ còn một quân trên bàn?

(GER 1; IMO 5) Cho $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$. Xác định xem có tồn tại một hàm tăng nghiêm ngặt $f:\mathbb N\to\mathbb N$ với các tính chất sau hay không:
$$f(1)=2;\tag{1}$$
$$f(f(n))=f(n)+n\qquad(n\in\mathbb N).\tag{2}$$

(GEO 3) Cho các số nguyên $a,b,c$ với $a\gt 0$, $ac-b^2=P=P_1\cdots P_m$, trong đó $P_1,\ldots,P_m$ là các số nguyên tố (phân biệt). Gọi $M(n)$ là số cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn
$$ax^2+2bxy+cy^2=n.$$
Chứng minh rằng $M(n)$ hữu hạn và $M(n)=M(P^k\cdot n)$ với mọi số nguyên $k\ge0$.

(IND 1) Định nghĩa dãy $\langle f(n)\rangle_{n=1}^\infty$ các số nguyên dương bởi $f(1)=1$ và
$$f(n)=\begin{cases}f(n-1)-n,&f(n-1)\gt n;\\f(n-1)+n,&f(n-1)\le n,\end{cases}$$
với $n\ge2$. Đặt $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1993\}$.
(a) Chứng minh rằng $S$ là tập vô hạn.
(b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất trong $S$.
(c) Nếu viết tất cả phần tử của $S$ theo thứ tự tăng dần thành $n_1\lt n_2\lt n_3\lt \cdots$, chứng minh rằng
$$\lim_{i\to\infty}\frac{n_{i+1}}{n_i}=3.$$

(IND 4)
(a) Chứng minh rằng tập $\mathbb Q^+$ mọi số hữu tỉ dương có thể được chia thành ba tập con đôi một rời nhau $A,B,C$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$$BA=B,\qquad B^2=C,\qquad BC=A,$$
trong đó $HK$ chỉ tập $\{hk\mid h\in H,k\in K\}$ với hai tập con bất kỳ $H,K$ của $\mathbb Q^+$ và $H^2$ chỉ $HH$.
(b) Chứng minh rằng mọi lập phương hữu tỉ dương đều thuộc $A$ đối với một phân hoạch như vậy của $\mathbb Q^+$.
(c) Tìm một phân hoạch như vậy $\mathbb Q^+=A\cup B\cup C$ có tính chất là không có số nguyên dương $n\le34$ nào mà cả $n$ và $n+1$ đều thuộc $A$; tức là,
$$\min\{n\in\mathbb N\mid n\in A,n+1\in A\}\gt 34.$$

(IND 5) Một số tự nhiên $n$ được gọi là có tính chất $P$ nếu mỗi khi $n$ là ước của $a^n-1$ với một số nguyên $a$ nào đó, $n^2$ cũng nhất thiết là ước của $a^n-1$.
(a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố đều có tính chất $P$.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số $n$ có tính chất $P$.

(IRE 1; IMO 1) Cho số nguyên $n\gt 1$ và $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$. Chứng minh rằng không tồn tại các đa thức $g(x),h(x)$, mỗi đa thức có hệ số nguyên và bậc ít nhất bằng một, sao cho $f(x)=g(x)h(x)$.

(IRE 2) Cho các số nguyên dương $n,k$ với $k\le n$ và một tập $S$ chứa $n$ số thực phân biệt. Gọi $T$ là tập mọi số thực có dạng $x_1+x_2+\cdots+x_k$, trong đó $x_1,x_2,\ldots,x_k$ là các phần tử phân biệt của $S$. Chứng minh rằng $T$ chứa ít nhất $k(n-k)+1$ phần tử phân biệt.

(IRE 3) Gọi $S$ là tập mọi cặp $(m,n)$ gồm các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $m,n$ với $n$ chẵn và $m\lt n$. Với $s=(m,n)\in S$, viết $n=2^kn_0$, trong đó $k,n_0$ là các số nguyên dương với $n_0$ lẻ, và định nghĩa $f(s)=(n_0,m+n-n_0)$.
Chứng minh rằng $f$ là một hàm từ $S$ vào $S$ và với mỗi $s=(m,n)\in S$, tồn tại số nguyên dương $t\le\frac{m+n+1}{4}$ sao cho $f^t(s)=s$, trong đó
$$f^t(s)=(\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{t})(s).$$
Dấu ngoặc chỉ $t$ lần hợp thành hàm.
Nếu $m+n$ là một số nguyên tố không phải là ước của $2^k-1$ với $k=1,2,\ldots,m+n-2$, chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của $t$ thỏa mãn các điều kiện trên là $\left[\frac{m+n+1}{4}\right]$, trong đó $[x]$ chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

(ISR 1) Các đỉnh $D,E,F$ của một tam giác đều lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$. Nếu $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh ấy và $S$ là diện tích của $ABC$, chứng minh rằng
$$DE\ge\frac{2\sqrt2S}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt3S}}.$$

(MCD 1; IMO 4) Với ba điểm $A,B,C$ trong mặt phẳng, định nghĩa $m(ABC)$ là độ dài nhỏ nhất trong ba đường cao của tam giác $ABC$, và khi $A,B,C$ thẳng hàng, $m(ABC)=0$. Cho các điểm $A,B,C$ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi điểm $X$ trong mặt phẳng,
$$m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).$$

(MCD 3) Cho $n\in\mathbb N$, $n\ge2$, và $A_0=(a_{01},a_{02},\ldots,a_{0n})$ là một bộ $n$ số tự nhiên bất kỳ sao cho $0\le a_{0i}\le i-1$, với $i=1,\ldots,n$. Các bộ $n$ phần tử $A_1=(a_{11},a_{12},\ldots,a_{1n})$, $A_2=(a_{21},a_{22},\ldots,a_{2n}),\ldots$ được định nghĩa bởi
$$a_{i+1,j}=\operatorname{Card}\{a_{i,l}\mid1\le l\le j-1,\ a_{i,l}\ge a_{i,j}\},\qquad i\in\mathbb N,\ j=1,\ldots,n.$$
Chứng minh rằng tồn tại $k\in\mathbb N$ sao cho $A_{k+2}=A_k$.

(NET 2; IMO 6) Cho $n$ là một số nguyên lớn hơn $1$. Xếp thành vòng tròn $n$ bóng đèn $L_0,\ldots,L_{n-1}$, mỗi bóng có thể BẬT hoặc TẮT, ban đầu tất cả đèn đều BẬT, rồi thực hiện một dãy bước $\mathrm{Step}_0,\mathrm{Step}_1,\ldots$. Nếu $L_{j-1}$ ($j$ được lấy theo môđun $n$) đang BẬT, thì $\mathrm{Step}_j$ đổi trạng thái của $L_j$ (từ BẬT sang TẮT hoặc từ TẮT sang BẬT) nhưng không đổi trạng thái của bất kỳ đèn nào khác. Nếu $L_{j-1}$ đang TẮT thì $\mathrm{Step}_j$ không thay đổi gì. Chứng minh rằng:
(a) Có số nguyên dương $M(n)$ sao cho sau $M(n)$ bước mọi đèn lại BẬT.
(b) Nếu $n$ có dạng $2^k$ thì mọi đèn đều BẬT sau $n^2-1$ bước.
(c) Nếu $n$ có dạng $2^k+1$ thì mọi đèn đều BẬT sau $n^2-n+1$ bước.

(POL 1) Gọi $S_n$ là số dãy $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$, trong đó $a_i\in\{0,1\}$, mà không có sáu khối liên tiếp bằng nhau. Chứng minh rằng $S_n\to\infty$ khi $n\to\infty$.

(ROM 2) Cho các số nguyên dương $a,b,n$, $b\gt 1$ và $b^n-1\mid a$. Chứng minh rằng biểu diễn của số $a$ trong cơ số $b$ chứa ít nhất $n$ chữ số khác không.

(ROM 3) Cho $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb R$ ($n\ge2$) sao cho $0\le\sum_{i=1}^n c_i\le n$. Chứng minh rằng có thể tìm các số nguyên $k_1,\ldots,k_n$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^n k_i=0$ và
$$1-n\le c_i+nk_i\le n$$
với mọi $i=1,\ldots,n$.