(GBR 3) IMO5. Tìm, kèm chứng minh, tất cả các hàm số $f$ xác định trên các số thực không âm và nhận giá trị thực không âm sao cho
(i) $f[xf(y)]f(y)=f(x+y)$,
(ii) $f(2)=0$ nhưng $f(x)\ne0$ với $0\le x\lt 2$.
(SWE 2) Cho $f(x)=x^n$, trong đó $n$ là một số nguyên dương cố định và $x=1,2,\ldots$. Khai triển thập phân $a=0.f(1)f(2)f(3)\ldots$ có là số hữu tỉ với giá trị nào của $n$ không?
Khai triển thập phân của $a$ được định nghĩa như sau: Nếu $f(x)=d_1(x)d_2(x)\ldots d_{r(x)}(x)$ là khai triển thập phân của $f(x)$, thì $a=0.1d_1(2)d_2(2)\ldots d_{r(2)}(2)d_1(3)\ldots d_{r(3)}(3)d_1(4)\ldots$.
(USA 3) Cho $A$, $B$, và $C$ là ba điểm trên mép của một dây cung tròn sao cho $B$ nằm chính về phía tây của $C$ và $ABC$ là tam giác đều có cạnh dài 86 mét. Một cậu bé bơi từ $A$ thẳng về phía $B$. Sau khi bơi được $x$ mét, cậu quay sang bơi về phía tây, đến bờ sau khi bơi thêm $y$ mét. Nếu $x$ và $y$ đều là số nguyên dương, hãy xác định $y$.
(CZS 3) Cho $n$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố, $p>3$. Tìm ít nhất $3(n+1)$ [phiên bản dễ hơn: $2(n+1)$] bộ số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn
$$xyz=p^n(x+y+z)$$
mà không chỉ khác nhau bởi một hoán vị.
(FRG 1) IMO1. Tập $S=\{2,5,13\}$ có tính chất: với mọi $a,b\in S$, $a\ne b$, số $ab-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $d$ không thuộc $S$, tập $S\cup\{d\}$ không có tính chất trên.
(FRA 5) Cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ thỏa mãn $0\lt x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt 1$ và đặt $x_0=0$, $x_{n+1}=1$. Giả sử các số này thỏa mãn hệ phương trình sau:
$$\sum_{\substack{j=0\\j\ne i}}^{n+1}\frac1{x_i-x_j}=0\quad(i=1,2,\ldots,n).\tag{1}$$
Chứng minh $x_{n+1-i}=1-x_i$ với $i=1,2,\ldots,n$.
(USA 1) Từ một nhóm $n$ người, chọn $q$ đội hai người phân biệt và xếp hạng $1,\ldots,q$ (không đồng hạng). Gọi $m$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $2q/n$. Chứng minh có thể liệt kê $m$ đội phân biệt sao cho (i) mỗi cặp đội liên tiếp trong danh sách có một thành viên chung và (ii) dãy đội trong danh sách theo thứ tự xếp hạng.
Cách phát biểu khác. Cho một đồ thị có $n$ đỉnh và $q$ cạnh được đánh số $1,\ldots,q$, chứng minh tồn tại một chuỗi gồm $m$ cạnh, $m\ge2q/n$, mỗi hai cạnh liên tiếp có một đỉnh chung, được sắp đơn điệu theo số thứ tự.
(GDR 1) IMO6. Chứng minh hoặc bác bỏ: Cho một tập hữu hạn các điểm có tọa độ nguyên trong mặt phẳng, có thể tô một số điểm màu đỏ và các điểm còn lại màu trắng sao cho với mọi đường thẳng $L$ song song với một trục tọa độ, số điểm đỏ và số điểm trắng trên $L$ chênh nhau không quá 1.
(HUN 2) Ba người $A,B,C$ chơi trò sau: Chọn ngẫu nhiên một tập con $k$ phần tử của tập $\{1,\ldots,1986\}$, mỗi cách chọn có xác suất bằng nhau, trong đó $k$ là một số nguyên dương cố định không vượt quá 1986. Người thắng lần lượt là $A$, $B$ hoặc $C$ nếu tổng các số được chọn có số dư là 0, 1 hoặc 2 khi chia cho 3. Với những giá trị nào của $k$, trò chơi này công bằng? (Một trò chơi công bằng nếu ba kết quả có xác suất bằng nhau.)
(BUL 1) Gọi $f(n)$ là số điểm phân biệt ít nhất trong mặt phẳng sao cho với mỗi $k=1,2,\ldots,n$ có một đường thẳng chứa đúng $k$ điểm trong số đó. Tìm công thức tường minh của $f(n)$.
Phiên bản đơn giản hóa. Chứng minh $f(n)=\left[\frac{n+1}2\right]\left[\frac{n+2}2\right]$ ($[x]$ chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
(GDR 3) IMO3. Gán cho mỗi đỉnh $P_i$ ($i=1,\ldots,5$) của một ngũ giác một số nguyên $x_i$, với tổng $s=\sum x_i$ dương. Cho phép phép biến đổi sau, miễn là ít nhất một trong các $x_i$ âm: Chọn một $x_i$ âm, thay nó bởi $-x_i$, và cộng giá trị cũ của $x_i$ vào các số nguyên gán cho hai đỉnh kề với $P_i$ (hai số nguyên còn lại giữ nguyên).
Lặp lại phép biến đổi này cho đến khi mọi số nguyên âm biến mất. Hãy quyết định xem quá trình có nhất thiết dừng sau hữu hạn bước không.
(FRG 3) Một hạt đi từ $(0,0)$ đến $(n,n)$ theo sự điều khiển của một đồng xu cân bằng. Mỗi lần ngửa nó đi một bước về đông, mỗi lần sấp nó đi một bước về bắc. Tại $(n,y)$, $y\lt n$, nó đứng yên nếu xuất hiện mặt ngửa, và tại $(x,n)$, $x\lt n$, nó đứng yên nếu xuất hiện mặt sấp. Cho $k$ là một số nguyên dương cố định. Tìm xác suất để hạt cần đúng $2n+k$ lần tung mới đến $(n,n)$.
(IRE 1) Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$, và $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $EF,FD,DE$. Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp và tâm các đường tròn ngoại tiếp $XYZ$ và $ABC$ thẳng hàng.
(NET 2) Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi có các đỉnh không cùng nằm trên một đường tròn. Cho $A'B'C'D'$ là tứ giác sao cho $A',B',C',D'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BCD,ACD,ABD$, và $ABC$. Viết $T(ABCD)=A'B'C'D'$. Định nghĩa $A''B''C''D''=T(A'B'C'D')=T(T(ABCD))$.
(a) Chứng minh $ABCD$ và $A''B''C''D''$ đồng dạng.
(b) Tỉ số đồng dạng phụ thuộc vào độ lớn các góc của $ABCD$. Hãy xác định tỉ số này.
(ISR 1) IMO4. Cho $A,B$ là hai đỉnh kề nhau của một đa giác đều $n$ cạnh trong mặt phẳng và $O$ là tâm của nó. Bây giờ cho tam giác $ABO$ trượt quanh đa giác sao cho các điểm $A$ và $B$ chuyển động dọc theo toàn bộ chu vi đa giác. Mô tả hình mà đỉnh $O$ vạch nên.
(CHN 3) IMO2. Cho $A,B,C$ là các điểm cố định trong mặt phẳng. Một người xuất phát từ một điểm $P_0$ nào đó và đi thẳng đến $A$. Tại $A$, người ấy đổi hướng $60^\circ$ sang trái và đi đến $P_1$ sao cho $P_0A=AP_1$. Sau khi thực hiện hành động tương tự 1986 lần liên tiếp quanh các điểm $A,B,C,A,B,C,\ldots$, người ấy trở về điểm xuất phát. Chứng minh $\triangle ABC$ đều và các đỉnh $A,B,C$ được sắp ngược chiều kim đồng hồ.
(TUR 1) Cho $AX,BY,CZ$ là ba đường cevian đồng quy tại điểm trong $D$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng nếu hai trong ba tứ giác $DYAZ,DZBX,DXCY$ ngoại tiếp được một đường tròn thì tứ giác thứ ba cũng vậy.
(BUL 2) Cho tứ diện $ABCD$ sao cho $AD=BC=a$; $AC=BD=b$; $AB\cdot CD=c^2$. Đặt $f(P)=AP+BP+CP+DP$, trong đó $P$ là điểm tùy ý trong không gian. Tính giá trị nhỏ nhất của $f(P)$.