(BUL 1) Cho tam giác $ABC$ có các đường phân giác $AA_1,BB_1,CC_1$ ($A_1\in BC$, v.v.) đồng quy tại $M$. Xét các tam giác $MB_1A,MC_1A,MC_1B,MA_1B,MA_1C,MB_1C$ và các đường tròn nội tiếp của chúng. Chứng minh rằng nếu bốn trong sáu đường tròn nội tiếp này có bán kính bằng nhau thì $AB=BC=CA$.
(BUL 3) Cho dãy số thực $a_0,a_1,\ldots,a_n,a_{n+1}$ thỏa mãn các điều kiện
$$a_0=a_{n+1}=0,\qquad |a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}|\le1\quad(k=1,2,\ldots,n).$$
Chứng minh rằng $|a_k|\le\frac{k(n+1-k)}2\quad(k=0,1,\ldots,n+1)$.
(CZS 3) IMO1. Trong một tứ giác lồi có diện tích $32\,\mathrm{cm}^2$, tổng độ dài của hai cạnh không kề nhau và một đường chéo bằng $16\,\mathrm{cm}$.
(a) Đường chéo còn lại dài bao nhiêu?
(b) Các cạnh của tứ giác dài bao nhiêu nếu chu vi nhỏ nhất?
(c) Có thể chọn các cạnh sao cho chu vi lớn nhất hay không?
(GBR 1a) IMO6. Với mọi số nguyên dương $n$, $u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1$, $u_0=2$ và $u_1=5/2$. Chứng minh rằng
$$3\log_2[u_n]=2^n-(-1)^n,$$
trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$.
(NET 3) IMO5. Cho hệ gồm $p$ phương trình
$$\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1q}x_q&=0,\\a_{21}x_1+\cdots+a_{2q}x_q&=0,\\&\vdots\\a_{p1}x_1+\cdots+a_{pq}x_q&=0,\end{aligned}$$
có các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn $a_{ij}=-1,0$ hoặc $+1$ với mọi $i=1,\ldots,p$ và $j=1,\ldots,q$. Chứng minh rằng nếu $q=2p$ thì hệ có một nghiệm $x_1,\ldots,x_q$ sao cho mọi $x_j$ ($j=1,\ldots,q$) là số nguyên thỏa mãn $|x_j|\le q$ và $x_j\ne0$ với ít nhất một chỉ số $j$.
(NET 4) IMO3. Một hộp chữ nhật có thể được lấp đầy hoàn toàn bằng các khối lập phương đơn vị. Nếu đặt vào hộp các khối lập phương có thể tích $2$ sao cho các cạnh của chúng song song với các cạnh của hộp thì có thể lấp đầy đúng $40\%$ hộp. Xác định tất cả các kích thước (bên trong) có thể có của hộp.
(POL 1b) Gọi $I=(0,1]$ là khoảng đơn vị trên trục số thực. Với một số cho trước $a\in(0,1)$, xác định ánh xạ $T:I\to I$ bằng công thức
$$T(x,y)=\begin{cases}x+(1-a)&\text{if }0\lt x\le a,\\x-a&\text{if }a\lt x\le1.\end{cases}$$
Trong công thức, “if” nghĩa là “nếu”. Chứng minh rằng với mọi khoảng $J\subset I$, tồn tại số nguyên $n\gt 0$ sao cho $T^n(J)\cap J\ne\varnothing$.
(SWE 3) Cho đa thức $P$ có hệ số thực sao cho $P(x)\gt 0$ nếu $x\gt 0$. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức $Q$ và $R$ có hệ số không âm sao cho $P(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}$ nếu $x\gt 0$.
(FIN 2) IMO2. Cho $P_1(x)=x^2-2$, $P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))$, $j=2,3,\ldots$. Chứng minh rằng với $n$ bất kỳ, các nghiệm của phương trình $P_n(x)=x$ đều thực và đôi một khác nhau.
(VIE 2) Đa thức $1976(x+x^2+\cdots+x^n)$ được phân tích thành tổng các đa thức dạng $a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$, trong đó $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau không lớn hơn $n$. Tìm tất cả các giá trị $n$ để có thể phân tích như vậy.