Dãy số thực $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ được xác định bởi công thức
$$
a_{i+1}=\left\lfloor a_{i}\right\rfloor \cdot\left\langle a_{i}\right\rangle \quad \text{ với } \quad i \geq 0
$$
trong đó $a_{0}$ là một số thực tùy ý, $\left\lfloor a_{i}\right\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a_{i}$, và $\left\langle a_{i}\right\rangle=a_{i}-\left\lfloor a_{i}\right\rfloor$. Chứng minh rằng $a_{i}=a_{i+2}$ khi $i$ đủ lớn.
Dãy số thực $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ được xác định bởi hệ thức truy hồi
$$
a_{0}=-1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1}=0 \quad \text{ với } \quad n \geq 1
$$
Chứng minh rằng $a_{n}\gt 0$ với $n \geq 1$.
Dãy $c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n}, \ldots$ được xác định bởi $c_{0}=1$, $c_{1}=0$ và $c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$ với $n \geq 0$. Xét tập $S$ gồm các cặp có thứ tự $(x, y)$ sao cho tồn tại một tập hữu hạn $J$ các số nguyên dương thỏa mãn $x=\sum_{j \in J} c_{j}$, $y=\sum_{j \in J} c_{j-1}$. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $\alpha$, $\beta$, $m$, $M$ có tính chất sau: một cặp số nguyên không âm $(x, y)$ thỏa mãn bất đẳng thức
$$
m\lt \alpha x+\beta y\lt M
$$
khi và chỉ khi $(x, y) \in S$.
Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
$$
\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}} \leq 3 .
$$
Tìm số nhỏ nhất $M$ sao cho bất đẳng thức
$$
\left|a b\left(a^{2}-b^{2}\right)+b c\left(b^{2}-c^{2}\right)+c a\left(c^{2}-a^{2}\right)\right| \leq M\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}
$$
đúng với mọi số thực $a, b, c$.
Có $n \geq 2$ bóng đèn $L_{1}, \ldots, L_{n}$ xếp thành một hàng; mỗi đèn ở trạng thái bật hoặc tắt. Mỗi giây, đồng thời thay đổi trạng thái của tất cả các đèn theo quy tắc:
- Nếu đèn $L_{i}$ và các đèn kề nó (một đèn kề khi $i=1$ hoặc $i=n$, hai đèn kề với các $i$ khác) có cùng trạng thái thì $L_{i}$ được tắt.
- Trong trường hợp còn lại, $L_{i}$ được bật.
Ban đầu, chỉ đèn ngoài cùng bên trái bật, các đèn khác đều tắt.
a. Chứng minh có vô số số nguyên $n$ sao cho sau một thời gian tất cả các đèn đều tắt.
b. Chứng minh có vô số số nguyên $n$ sao cho các đèn không bao giờ đồng thời tắt hết.
Một đường chéo của đa giác đều 2006 cạnh được gọi là lẻ nếu hai đầu mút của nó chia biên đa giác thành hai phần, mỗi phần gồm một số lẻ cạnh. Các cạnh của đa giác cũng được coi là đường chéo lẻ.
Giả sử đa giác được chia thành các tam giác bởi 2003 đường chéo không cắt nhau. Tìm số lớn nhất các tam giác cân có hai cạnh lẻ có thể xuất hiện.
Cho $S$ là một tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Với mỗi đa giác lồi $P$ có các đỉnh thuộc $S$, gọi $a(P)$ là số đỉnh của $P$ và $b(P)$ là số điểm thuộc $S$ nằm ngoài $P$. Chứng minh rằng với mọi số thực $x$,
$$
\sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1,
$$
trong đó tổng lấy trên tất cả các đa giác lồi có đỉnh thuộc $S$.
Chú ý: một đoạn thẳng, một điểm và tập rỗng cũng được coi là các đa giác lồi có lần lượt 2, 1 và 0 đỉnh.
Một chiếc bánh hình vuông $n \times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị. Dâu tây được đặt trên một số ô sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng một quả; gọi cách sắp xếp này là $\mathcal{A}$.
Cho $\mathcal{B}$ là một cách sắp xếp khác cũng có tính chất đó. Giả sử mọi hình chữ nhật theo lưới có một đỉnh ở góc trên trái của bánh đều chứa số dâu tây của $\mathcal{B}$ không ít hơn số dâu tây của $\mathcal{A}$. Chứng minh có thể thu được $\mathcal{B}$ từ $\mathcal{A}$ bằng một số phép chuyển sau:
Chọn một hình chữ nhật theo lưới chỉ chứa hai quả dâu tây, ở ô góc trên phải và ô góc dưới trái; chuyển hai quả đó sang hai ô góc còn lại của hình chữ nhật.
Một giải đấu $(n, k)$ gồm $n$ người chơi và $k$ vòng, thỏa mãn:
(i) Mỗi người chơi đều thi đấu ở mọi vòng; hai người bất kỳ gặp nhau nhiều nhất một lần.
(ii) Nếu $A$ gặp $B$ ở vòng $i$, $C$ gặp $D$ ở vòng $i$ và $A$ gặp $C$ ở vòng $j$, thì $B$ gặp $D$ ở vòng $j$.
Tìm tất cả các cặp $(n, k)$ sao cho tồn tại một giải đấu $(n, k)$.
Một tam giác có lỗ là một tam giác đều hướng lên, cạnh $n$, đã khoét bỏ $n$ tam giác đơn vị hướng lên. Một hình thoi đơn vị có các góc $60^{\circ}$ và $120^{\circ}$. Chứng minh có thể lát tam giác có lỗ $T$ bằng các hình thoi đơn vị khi và chỉ khi: mỗi tam giác đều hướng lên cạnh $k$ nằm trong $T$ chứa nhiều nhất $k$ lỗ, với $1 \leq k \leq n$.
Xét một khối đa diện lồi không có hai cạnh song song và không có cạnh nào song song với một mặt ngoài hai mặt kề cạnh đó.
Hai điểm của khối đa diện được gọi là đối cực nếu có hai mặt phẳng song song đi qua chúng và khối đa diện nằm giữa hai mặt phẳng đó.
Gọi $A$ là số cặp đỉnh đối cực, $B$ là số cặp trung điểm cạnh đối cực. Tính hiệu $A-B$ theo số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối đa diện.
Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. Điểm $P$ nằm bên trong tam giác và thỏa mãn
$$
\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB.
$$
Chứng minh $AP \geq AI$, với đẳng thức khi và chỉ khi $P$ trùng $I$.
Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy song song với độ dài $AB \gt CD$. Các điểm $K$, $L$ lần lượt thuộc các đoạn $AB$, $CD$, sao cho $AK / KB = DL / LC$. Giả sử có các điểm $P$, $Q$ trên đoạn $KL$ thỏa mãn
$$
\angle APB = \angle BCD \quad \text{và} \quad \angle CQD = \angle ABC.
$$
Chứng minh bốn điểm $P$, $Q$, $B$, $C$ đồng viên.
Trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$ có $\angle C \lt \angle A \lt 90^{\circ}$, chọn điểm $D$ sao cho $BD = BA$. Đường tròn nội tiếp $ABC$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ lần lượt tại $K$, $L$. Gọi $J$ là tâm nội tiếp của tam giác $BCD$. Chứng minh đường thẳng $KL$ cắt đoạn $AJ$ tại trung điểm của đoạn này.
Trong tam giác $A B C$, gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với cạnh $B C$ tại $A_{1}$, với phần kéo dài của $A C$, $A B$ lần lượt tại $B_{1}$, $C_{1}$. Giả sử $A_{1} B_{1}$ vuông góc với $A B$ và cắt nhau tại $D$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc từ $C_{1}$ xuống đường thẳng $D J$. Tìm các góc $\angle B E A_{1}$ và $\angle A E B_{1}$.
Hai đường tròn $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ có tâm $O_{1}$, $O_{2}$ tiếp xúc ngoài tại $D$ và tiếp xúc trong với đường tròn $\omega$ lần lượt tại $E$, $F$. Đường thẳng $t$ là tiếp tuyến chung của $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ tại $D$. Gọi $AB$ là đường kính của $\omega$ vuông góc với $t$, sao cho $A$, $E$, $O_{1}$ cùng nằm về một phía của $t$. Chứng minh các đường thẳng $A O_{1}$, $B O_{2}$, $EF$, $t$ đồng quy.
Trong tam giác $A B C$, gọi $M_{a}, M_{b}, M_{c}$ lần lượt là trung điểm các cạnh $B C, C A, A B$; $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ lần lượt là trung điểm các cung $B C, C A, A B$ của đường tròn ngoại tiếp $A B C$ không chứa đỉnh đối diện. Với $i \in \{a, b, c\}$, gọi $\omega_{i}$ là đường tròn có đường kính $M_{i} T_{i}$. Gọi $p_{i}$ là tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_{j}, \omega_{k}(\{i, j, k\}=\{a, b, c\})$, sao cho $\omega_{i}$ nằm về phía đối diện của $p_{i}$ so với $\omega_{j}, \omega_{k}$. Chứng minh ba đường thẳng $p_{a}, p_{b}, p_{c}$ tạo thành một tam giác đồng dạng với $A B C$ và tìm tỉ số đồng dạng.