(BUL 1) Chứng minh rằng mọi số trong dãy
$$\frac{107811}{3},\quad\frac{110778111}{3},\quad\frac{111077781111}{3},\quad\ldots$$
đều là lập phương của một số nguyên.
(BUL 4) Giả sử hai đường trung tuyến $m_a$ và $m_b$ của một tam giác vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
(a) Ba đường trung tuyến của tam giác đó có độ dài bằng ba cạnh của một tam giác vuông.
(b) Bất đẳng thức $$5(a^2+b^2-c^2)\geq8ab$$ đúng, trong đó $a,b,c$ là độ dài các cạnh của tam giác đã cho.
(CZS 1) Tìm mọi nghiệm thực của hệ phương trình
$$\begin{aligned}x_1+x_2+\cdots+x_n&=a,\\x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2&=a^2,\\&\ \vdots\\x_1^n+x_2^n+\cdots+x_n^n&=a^n.\end{aligned}$$
(CZS 2) IMO1 $ABCD$ là hình bình hành; $AB=a$, $AD=1$, $\alpha$ là số đo $\angle DAB$, và ba góc của tam giác $ABD$ đều nhọn. Chứng minh bốn hình tròn $K_A,K_B,K_C,K_D$, mỗi hình có bán kính $1$ và có tâm lần lượt là các đỉnh $A,B,C,D$, phủ hình bình hành khi và chỉ khi $a\leq\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$.
(CZS 3) Cho đường tròn $k$ và đường kính $AB$ của nó. Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp các tam giác có một đỉnh trên $AB$ và hai đỉnh còn lại trên $k$.
(CZS 4) Cần chia hình vuông $ABCD$ thành $n$ tam giác không chồng lấn, trong đó mọi góc của mỗi tam giác đều nhọn. Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất để bài toán có lời giải và dựng ít nhất một cách chia với giá trị $n$ đó. Cho biết liệu có thể yêu cầu thêm rằng ít nhất một tam giác trong số này có chu vi nhỏ hơn một số dương cho trước tùy ý hay không.
(CZS 6) Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài $1$. Xác định tập điểm $M$ như sau: tập này chứa hai điểm $A,B$, đồng thời chứa mọi điểm thu được từ $A,B$ bằng cách lặp lại quy tắc sau: (*) với mỗi cặp điểm $X,Y$ thuộc $M$, tập $M$ cũng chứa điểm $Z$ trên đoạn $XY$ thỏa mãn $YZ=3XZ$.
(a) Chứng minh rằng tập $M$ gồm các điểm $X$ trên đoạn $AB$ có khoảng cách đến điểm $A$ bằng một trong hai dạng
$$AX=\frac{3k}{4^n}\quad\lor\quad AX=\frac{3k-2}{4^n},$$
trong đó $n,k$ là các số nguyên không âm.
(b) Chứng minh rằng điểm $X_0$ thỏa mãn $AX_0=1/2=X_0B$ không thuộc tập $M$.
(GDR 1) Xét mọi tứ giác có phần trong nằm trong một nửa hình tròn bán kính $r$. Hãy xác định có tồn tại một hay nhiều tứ giác có diện tích lớn nhất hay không. Nếu có, xác định hình dạng và diện tích của chúng.
(GDR 2) Phân số $p/q$ nào, với $p,q$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $100$, gần $\sqrt2$ nhất? Tìm tất cả các chữ số sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của phân số này trùng với các chữ số trong biểu diễn thập phân của $\sqrt2$ (không dùng bảng số).
(GDR 3) Giả sử $\tan\alpha=p/q$, trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên và $q\ne0$. Chứng minh rằng số $\tan\beta$ thỏa mãn $\tan2\beta=\tan3\alpha$ chỉ có thể hữu tỉ khi $p^2+q^2$ là bình phương của một số nguyên.
(GDR 4) Chứng minh khẳng định sau: Nếu $r_1$ và $r_2$ là các số thực có thương là một số vô tỉ, thì mọi số thực $x$ đều có thể được xấp xỉ tốt tùy ý bằng các số dạng $z_{k_1,k_2}=k_1r_1+k_2r_2$, với $k_1,k_2$ nguyên; tức là, với mỗi số thực $x$ và mỗi số thực dương $p$, có thể tìm được hai số nguyên $k_1$ và $k_2$ sao cho $|x-(k_1r_1+k_2r_2)|\lt p$.
(GBR 1) IMO3 Cho $k,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $m+k+1$ là số nguyên tố lớn hơn $n+1$. Dùng $c_s$ để ký hiệu $s(s+1)$. Chứng minh tích $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)$ chia hết cho tích $c_1c_2\cdots c_n$.
(GBR 5) Nếu $x$ là số hữu tỉ dương, chứng minh rằng $x$ có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng
$$x=a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\cdots,$$
trong đó $a_1,a_2,\ldots$ là các số nguyên, $0\leq a_n\leq n-1$ với $n>1$, và chuỗi có hữu hạn số hạng khác không.
Đồng thời chứng minh rằng $x$ có thể được biểu diễn thành tổng nghịch đảo của các số nguyên khác nhau, mỗi số đều lớn hơn $10^6$.
(GBR 6) Đặt $n$ điểm $P_1,P_2,\ldots,P_n$ trong hoặc trên biên của một hình tròn bán kính $1$ sao cho khoảng cách nhỏ nhất $d_n$ giữa hai điểm bất kỳ trong số đó đạt giá trị lớn nhất có thể là $D_n$. Tính $D_n$ với $n$ từ $2$ đến $7$ và chứng minh đáp án.
(HUN 1) Cho $n$ điểm ($n\geq3$) trong không gian. Mỗi cặp điểm xác định một khoảng cách. Giả sử mọi khoảng cách đều khác nhau. Nối mỗi điểm với điểm gần nó nhất. Chứng minh rằng không thể thu được một đường gấp khúc bằng cách đó.
Chú thích trong nguồn. Phát biểu như trên là sai. Nó sẽ đúng một cách hiển nhiên nếu thêm giả thiết rằng đường gấp khúc là khép kín. Tuy nhiên, từ lời giải được đề xuất vốn không rõ ràng, có vẻ người ra đề không có ý như vậy.