Cho hai đa thức khác 0 $f$, $g$, có hệ số nguyên, thỏa mãn $\operatorname{deg} f\gt \operatorname{deg} g$. Giả sử với vô số số nguyên tố $p$, đa thức $p f+g$ có nghiệm hữu tỉ. Chứng minh $f$ có nghiệm hữu tỉ.
Cho hàm $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$; ký hiệu $f^{m}$ là phép áp dụng $f$ liên tiếp $m$ lần. Với mỗi $n \in \mathbb{N}$, tồn tại $k \in \mathbb{N}$ sao cho $f^{2 k}(n)=n+k$; gọi $k_{n}$ là $k$ nhỏ nhất có tính chất này. Chứng minh dãy $k_{1}, k_{2}, \ldots$ không bị chặn.
Hàm $f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là siêu đa thức (siêu đa thức) nếu tồn tại các số nguyên dương $m$, $n$ để biểu diễn nó dưới dạng
Một số số nguyên dương được viết thành hàng. Mỗi bước, Alice chọn hai số kề nhau $x$, $y$ sao cho $x\gt y$, và $x$ nằm bên trái $y$, rồi thay cặp $(x, y)$ bằng $(y+1, x)$ hoặc $(x-1, x)$. Chứng minh cô chỉ thực hiện được hữu hạn bước như vậy.
Cho số nguyên $n \geq 1$. Số lượng lớn nhất các cặp phần tử rời nhau của tập $\{1,2, \ldots, n\}$ là bao nhiêu, nếu tổng của các cặp là các số nguyên phân biệt không vượt quá $n$?
Một số ô trong bảng vuông $999 \times 999$ được tô trắng, các ô còn lại tô đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba ô $\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)$, trong đó hai ô đầu cùng hàng, hai ô cuối cùng cột, $C_{1}$, $C_{3}$ trắng và $C_{2}$ đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Hai người chơi $A$, $B$ dùng $N \geq 2012$ đồng xu và 2012 hộp xếp quanh vòng tròn. Ban đầu $A$ phân phối xu sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 xu. Sau đó họ đi theo thứ tự $B, A, B, A, \ldots$, với các quy tắc:
- Mỗi lượt, $B$ chuyển 1 xu từ mỗi hộp sang một hộp kề.
- Mỗi lượt, $A$ chọn một số xu không được di chuyển ở lượt trước của $B$, nằm trong các hộp khác nhau, rồi chuyển mỗi xu được chọn sang một hộp kề.
Mục tiêu của $A$ là bảo đảm sau mỗi lượt của mình, mỗi hộp có ít nhất 1 xu, bất kể $B$ chơi thế nào và có bao nhiêu lượt. Tìm $N$ nhỏ nhất để cô thành công.
Các hàng và cột của bảng vuông $3 n \times 3 n$ được đánh số $1,2, \ldots, 3 n$. Ô $(x, y)$, với $1 \leq x, y \leq 3 n$, được tô màu asparagus, byzantium hoặc citrine tùy số dư của $x+y$ theo môđun 3 lần lượt là 0, 1 hoặc 2. Mỗi ô có một quân màu asparagus, byzantium hoặc citrine, với $3 n^{2}$ quân mỗi màu.
Giả sử có thể hoán vị các quân sao cho mỗi quân được di chuyển một khoảng cách không quá $d$ từ vị trí ban đầu; mỗi quân asparagus thay chỗ quân byzantium, mỗi quân byzantium thay chỗ quân citrine, và mỗi quân citrine thay chỗ quân asparagus. Chứng minh có thể hoán vị các quân sao cho mỗi quân được di chuyển một khoảng cách không quá $d+2$, và mỗi ô chứa một quân cùng màu với ô.
Cho các số nguyên dương cố định $k$, $n$. Trong trò đoán với người nói dối, Amy chọn các số nguyên $x$, $N$ thỏa mãn $1 \leq x \leq N$. Cô cho Ben biết $N$, nhưng không cho biết $x$. Ben có thể hỏi nhiều lần liệu $x \in S$ hay không, với các tập số nguyên $S$ tùy ý. Amy trả lời có hoặc không, và có thể nói dối, nhưng nhiều nhất $k$ lần liên tiếp. Sau khi hỏi bao nhiêu câu tùy ý, Ben phải nêu một tập gồm nhiều nhất $n$ số nguyên dương. Nếu $x$ thuộc tập đó, Ben thắng; nếu không, thua. Chứng minh:
a) Nếu $n \geq 2^{k}$, Ben luôn có thể thắng.
b) Với $k$ đủ lớn, tồn tại $n \geq 1.99^{k}$ mà Ben không thể bảo đảm thắng.
Có $2^{500}$ điểm trên một đường tròn, gán các nhãn $1,2, \ldots, 2^{500}$ theo thứ tự bất kỳ. Chứng minh có thể chọn 100 dây cung đôi một không giao nhau, nối một số điểm này, sao cho tổng hai nhãn ở các đầu mút của mỗi dây trong 100 dây đều bằng nhau.
Trong tam giác $A B C$, điểm $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện $A$. Đường tròn này tiếp xúc cạnh $B C$ tại $M$, và các đường $A B$, $A C$ lần lượt tại $K$, $L$. Các đường $L M$, $B J$ cắt nhau tại $F$; các đường $K M$, $C J$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm $A F$, $B C$; gọi $T$ là giao điểm $A G$, $B C$. Chứng minh $M$ là trung điểm $S T$.
Cho tứ giác nội tiếp $A B C D$, có các đường chéo $A C$, $B D$ cắt nhau tại $E$. Các cạnh $A D$, $B C$ kéo dài qua $A$, $B$ cắt nhau tại $F$. Chọn điểm $G$ sao cho $E C G D$ là hình bình hành; gọi $H$ là ảnh của $E$ qua phép đối xứng qua $A D$. Chứng minh $D, H, F, G$ đồng viên.
Trong tam giác nhọn $A B C$, các điểm $D, E$, $F$ là chân các đường cao từ $A$, $B$, $C$ tương ứng. Gọi $I_{1}$, $I_{2}$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $A E F$, $B D F$; gọi $O_{1}$, $O_{2}$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $A C I_{1}$, $B C I_{2}$. Chứng minh $I_{1} I_{2}$, $O_{1} O_{2}$ song song.
Cho tam giác $A B C$, thỏa mãn $A B \neq A C$, có tâm ngoại tiếp $O$. Phân giác $\angle B A C$ cắt $B C$ tại $D$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua trung điểm $B C$. Các đường qua $D$, $E$, vuông góc với $B C$, cắt các đường $A O$, $A D$ lần lượt tại $X$, $Y$. Chứng minh tứ giác $B X C Y$ nội tiếp.
Cho tam giác $A B C$ thỏa mãn $\angle B C A=90^{\circ}$; gọi $C_{0}$ là chân đường cao từ $C$. Chọn điểm $X$ nằm trong đoạn $C C_{0}$. Gọi $K, L$ là các điểm trên các đoạn $A X, B X$ sao cho $B K=B C$, $A L=A C$ tương ứng. Gọi $M$ là giao điểm $A L$, $B K$. Chứng minh $M K=M L$.
Cho tam giác $A B C$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm nội tiếp $I$. Các điểm $D, E$, $F$ lần lượt thuộc các cạnh $B C, C A$, $A B$, thỏa mãn $B D+B F=C A$, $C D+C E=A B$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $B F D$, $C D E$ cắt nhau tại $P \neq D$. Chứng minh $O P=O I$.