Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1994

A1 (USA) Cho $a_0=1994$ và $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n+1}$ với mỗi số nguyên không âm $n$. Chứng minh rằng $1994-n$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a_n$, $0\le n\le998$.

A2 (FRA), IMO1. Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Tập $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ là tập con của $\{1,2,\ldots,n\}$. Mỗi khi $a_i+a_j\le n$, $1\le i\le j\le m$, thì $a_i+a_j$ cũng thuộc $A$. Chứng minh rằng
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}.$$

A3 (GBR), IMO5. Gọi $S$ là tập các số thực lớn hơn $-1$. Tìm tất cả các hàm $f:S\to S$ sao cho
$$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$$
với mọi $x$ và $y$ trong $S$, và $f(x)/x$ đồng biến nghiêm ngặt trên $-1\lt x\lt 0$ và trên $0\lt x$.

A4 (MON) Ký hiệu $\mathbb R$ là tập tất cả các số thực và $\mathbb R^+$ là tập con gồm tất cả các số dương. Cho $\alpha$ và $\beta$ thuộc $\mathbb R$, không nhất thiết khác nhau. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ sao cho
$$f(x)f(y)=y^\alpha f\left(\frac x2\right)+x^\beta f\left(\frac y2\right)\qquad(x,y\in\mathbb R^+).$$

A5 (POL) Cho $f(x)=\frac{x^2+1}{2x}$ với $x\ne0$. Định nghĩa $f^{(0)}(x)=x$ và $f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$ với mọi số nguyên dương $n$ và $x\ne0$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm $n$ và $x\ne-1,0,$ hoặc $1$,
$$\frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac1{f\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2^n}\right)}.$$

C1 (UKR) Trên bảng $5\times5$, hai người chơi luân phiên ghi số vào ô trống. Người thứ nhất luôn ghi các số $1$, người thứ hai ghi các số $0$. Mỗi lượt ghi một số, cho đến khi bảng được điền đầy. Với mỗi hình vuông trong chín hình vuông $3\times3$, tính tổng chín số trong các ô của nó. Gọi $A$ là tổng lớn nhất trong các tổng này. Người thứ nhất có thể làm cho $A$ lớn đến mức nào, bất kể cách đáp lại của người thứ hai?

C2 (COL) Trong một thành phố, tuổi được tính bằng số thực thay vì số nguyên. Hai công dân bất kỳ $x$ và $x'$ hoặc quen nhau hoặc không quen nhau. Hơn nữa, nếu họ không quen nhau thì tồn tại một chuỗi công dân $x=x_0,x_1,\ldots,x_n=x'$ với một số nguyên $n\ge2$ sao cho $x_{i-1}$ và $x_i$ quen nhau. Trong một cuộc điều tra dân số, tất cả công dân nam khai tuổi của mình và có ít nhất một công dân nam. Mỗi công dân nữ chỉ cung cấp thông tin rằng tuổi của mình bằng trung bình cộng tuổi của tất cả những người mình quen. Chứng minh rằng điều đó đủ để xác định duy nhất tuổi của tất cả công dân nữ.

C3 (MCD) Peter có ba tài khoản ở một ngân hàng, mỗi tài khoản có một số nguyên đô-la. Anh chỉ được chuyển tiền từ tài khoản này sang tài khoản khác sao cho số tiền trong tài khoản nhận tăng gấp đôi.
(a) Chứng minh Peter luôn có thể chuyển toàn bộ tiền vào hai tài khoản.
(b) Peter có luôn chuyển được toàn bộ tiền vào một tài khoản không?

C4 (EST) Có $n+1$ vị trí cố định trên một hàng, được ghi nhãn từ $0$ đến $n$ theo thứ tự tăng dần từ phải sang trái. Các thẻ đánh số từ $0$ đến $n$ được xáo trộn và chia, mỗi vị trí một thẻ. Mục tiêu của trò chơi là đặt thẻ $i$ vào vị trí thứ $i$ với $0\le i\le n$. Nếu chưa đạt điều đó, thực hiện nước đi sau. Xác định $k$ nhỏ nhất sao cho vị trí thứ $k$ chứa thẻ $l\gt k$. Lấy thẻ này ra, trượt tất cả các thẻ từ vị trí thứ $(k+1)$ đến vị trí thứ $l$ sang phải một vị trí, rồi đặt thẻ $l$ vào vị trí thứ $l$.
(a) Chứng minh trò chơi kéo dài nhiều nhất $2^n-1$ nước.
(b) Chứng minh tồn tại duy nhất một cấu hình ban đầu mà trò chơi kéo dài đúng $2^n-1$ nước.

C5 (SWE) Có $1994$ cô gái ngồi quanh một bàn tròn, chơi một trò với bộ bài gồm $n$ lá. Ban đầu một cô gái giữ tất cả các lá bài. Trong mỗi lượt, nếu có ít nhất một cô gái giữ ít nhất hai lá, thì một người trong số đó phải chuyển một lá cho mỗi người trong hai người ngồi cạnh mình. Trò chơi kết thúc khi và chỉ khi mỗi cô gái giữ nhiều nhất một lá.
(a) Chứng minh rằng nếu $n\ge1994$ thì trò chơi không thể kết thúc.
(b) Chứng minh rằng nếu $n\lt 1994$ thì trò chơi phải kết thúc.

C6 (FIN) Trên một lưới ô vuông vô hạn, hai người chơi luân phiên ghi ký hiệu vào ô trống. Người thứ nhất luôn ghi các chữ $X$, người thứ hai ghi các chữ $O$. Mỗi lượt ghi một ký hiệu. Người thứ nhất thắng nếu có $11$ chữ $X$ liên tiếp trên một hàng, cột hoặc đường chéo. Chứng minh người thứ hai có thể ngăn người thứ nhất thắng.

C7 (BRA) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\ge2$, tồn tại một tập gồm $2^{n-1}$ điểm trên mặt phẳng sao cho không có $3$ điểm thẳng hàng và không có $2n$ điểm là các đỉnh của một đa giác lồi $2n$ cạnh.

G1 (FRA) Một nửa đường tròn $\Gamma$ được vẽ về một phía của đường thẳng $l$. $C$ và $D$ là các điểm trên $\Gamma$. Các tiếp tuyến với $\Gamma$ tại $C$ và $D$ cắt $l$ lần lượt tại $B$ và $A$, với tâm nửa đường tròn nằm giữa chúng. Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, và $F$ là điểm trên $l$ sao cho $EF$ vuông góc với $l$. Chứng minh $EF$ là phân giác của $\angle CFD$.

G2 (UKR) $ABCD$ là một tứ giác có $BC$ song song với $AD$. $M$ là trung điểm của $CD$, $P$ là trung điểm của $MA$ và $Q$ là trung điểm của $MB$. Hai đường thẳng $DP$ và $CQ$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh $N$ không nằm ngoài tam giác $ABM$.

Chú thích 8 của nguồn: Bài toán này sai. Tuy nhiên, nó đúng nếu thay “không nằm ngoài $ABM$” bằng “không nằm ngoài $ABCD$”.

G3 (RUS) Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với hai đường thẳng song song $l_1$ và $l_2$. Đường tròn thứ hai $\omega_1$ tiếp xúc với $l_1$ tại $A$ và tiếp xúc ngoài với $\omega$ tại $C$. Đường tròn thứ ba $\omega_2$ tiếp xúc với $l_2$ tại $B$, tiếp xúc ngoài với $\omega$ tại $D$, và tiếp xúc ngoài với $\omega_1$ tại $E$. $AD$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.

G4 (AUS-ARM), IMO2. $N$ là một điểm tùy ý trên phân giác của $\angle BAC$. $P$ và $O$ lần lượt là các điểm trên các đường thẳng $AB$ và $AN$ sao cho $\angle ANP=90^\circ=\angle APO$. $Q$ là một điểm tùy ý trên $NP$, và một đường thẳng tùy ý qua $Q$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $\angle OQE=90^\circ$ khi và chỉ khi $QE=QF$.

G5 (CYP) Đường thẳng $l$ không cắt đường tròn $\omega$ tâm $O$. $E$ là điểm trên $l$ sao cho $OE$ vuông góc với $l$. $M$ là điểm bất kỳ trên $l$ khác $E$. Các tiếp tuyến từ $M$ đến $\omega$ tiếp xúc tại $A$ và $B$. $C$ là điểm trên $MA$ sao cho $EC$ vuông góc với $MA$. $D$ là điểm trên $MB$ sao cho $ED$ vuông góc với $MB$. Đường thẳng $CD$ cắt $OE$ tại $F$. Chứng minh vị trí của $F$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

N1 (BUL) $M$ là một tập con của $\{1,2,3,\ldots,15\}$ sao cho tích của ba phần tử phân biệt bất kỳ của $M$ không phải số chính phương. Xác định số phần tử lớn nhất của $M$.

N2 (AUS), IMO4. Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $\frac{n^3+1}{mn-1}$ là một số nguyên.

N3 (FIN), IMO6. Tìm một tập $A$ các số nguyên dương sao cho với mọi tập vô hạn $P$ gồm các số nguyên tố, tồn tại các số nguyên dương $m\in A$ và $n\notin A$, cả hai là tích của cùng một số lượng phần tử phân biệt của $P$.