Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1969

(BEL 1) Cho parabol $P_1$ có phương trình $x^2-2py=0$ và parabol $P_2$ có phương trình $x^2+2py=0$, $p>0$. Đường thẳng $t$ tiếp xúc với $P_2$. Tìm quỹ tích cực $M$ của đường thẳng $t$ đối với $P_1$.

(BEL 2)
(a) Tìm phương trình các hypebol vuông đi qua các điểm $A(\alpha,0)$, $B(\beta,0)$ và $C(0,\gamma)$.
(b) Chứng minh rằng tất cả các hypebol ấy đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
(c) Tìm quỹ tích tâm của các hypebol ấy.
(d) Kiểm tra xem quỹ tích này có trùng với đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$ hay không.

(BEL 3) Dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước.

(BEL 4) Cho $O$ là một điểm trên một conic không suy biến. Một góc vuông có đỉnh $O$ cắt conic tại các điểm $A$ và $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ đi qua một điểm cố định nằm trên pháp tuyến của conic tại điểm $O$.

(BEL 5) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $OAB$.
(a) Chứng minh rằng tất cả các conic đi qua các điểm $O,A,B,G$ đều là hypebol.
(b) Tìm quỹ tích tâm của các hypebol ấy.

(BEL 6) Tính $(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{10}$ bằng hai cách khác nhau và chứng minh rằng
$$\binom{10}1-\binom{10}3+\frac12\binom{10}5=2^4.$$

(BUL 1) Chứng minh rằng phương trình $\sqrt{x^3+y^3+z^3}=1969$ không có nghiệm nguyên.

(BUL 2) Tìm tất cả các hàm $f$ xác định với mọi $x$ và thỏa mãn điều kiện
$$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),$$
với mọi $x$ và $y$. Chứng minh rằng đúng hai hàm trong số đó liên tục.

(BUL 3) Một trăm đa giác lồi được đặt trên một hình vuông có cạnh dài $38$ cm. Diện tích của mỗi đa giác nhỏ hơn $\pi$ cm², và chu vi của mỗi đa giác nhỏ hơn $2\pi$ cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính $1$ nằm trong hình vuông và không giao với bất cứ đa giác nào.

(BUL 4) Cho $M$ là điểm bên trong tam giác vuông $ABC$ $(\angle C=90^\circ)$ sao cho
$$\angle MAB=\angle MBC=\angle MCA=\varphi.$$
Gọi $\psi$ là góc nhọn giữa các đường trung tuyến ứng với $AC$ và $BC$. Chứng minh rằng $\frac{\sin(\varphi+\psi)}{\sin(\varphi-\psi)}=5$.

(BUL 5) Cho $Z$ là một tập điểm trong mặt phẳng. Giả sử tồn tại một cặp điểm không thể nối bằng đường gấp khúc không đi qua bất kì điểm nào của $Z$. Ta gọi cặp điểm như vậy là không nối được. Chứng minh rằng với mỗi số thực $r>0$, tồn tại một cặp điểm không nối được có khoảng cách bằng $r$.

(CZS 1) Cho một hình lập phương đơn vị, tìm quỹ tích trọng tâm của tất cả các tứ diện có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình lập phương.

(CZS 2) Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Có thể tìm được $p-1$ số tự nhiên $n+1,n+2,\ldots,n+p-1$ sao cho tổng bình phương của các số này chia hết cho tổng của chúng hay không?

(CZS 3) Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương. Nếu $x$ là một nghiệm thực của phương trình $x^2+px+q=0$ có các hệ số thực $p$ và $q$ thỏa mãn $|p|\le a$, $|q|\le b$, chứng minh rằng
$$|x|\le\frac12\left(a+\sqrt{a^2+4b}\right).\tag{1}$$
Ngược lại, nếu $x$ thỏa mãn (1), chứng minh rằng tồn tại các số thực $p$ và $q$ với $|p|\le a$, $|q|\le b$ sao cho $x$ là một trong các nghiệm của phương trình $x^2+px+q=0$.

(CZS 4) Cho $K_1,\ldots,K_n$ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng
$$K_1!K_2!\cdots K_n!\ge [K/n]!^n,$$
trong đó $K=K_1+\cdots+K_n$.

(CZS 5) Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cạnh $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ và các góc $\alpha=\angle DAB$, $\beta=\angle ABC$, $\gamma=\angle BCD$, $\delta=\angle CDA$. Đặt $s=(a+b+c+d)/2$ và gọi $P$ là diện tích tứ giác. Chứng minh rằng
$$P^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\frac{\alpha+\gamma}{2}.$$

(CZS 6) Cho $d$ và $p$ là hai số thực. Tìm số hạng đầu của một cấp số cộng $a_1,a_2,a_3,\ldots$ có công sai $d$ sao cho $a_1a_2a_3a_4=p$. Xác định số nghiệm theo $d$ và $p$.

(FRA 1) Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên không âm. Ký hiệu $H(a,b)$ là tập các số $n$ có dạng $n=pa+qb$, trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương. Xác định $H(a)=H(a,a)$. Chứng minh rằng nếu $a\ne b$ thì chỉ cần biết tất cả các tập $H(a,b)$ ứng với các số $a,b$ nguyên tố cùng nhau là có thể biết tất cả các tập $H(a,b)$. Chứng minh rằng khi $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau, $H(a,b)$ chứa mọi số lớn hơn hoặc bằng $\omega=(a-1)(b-1)$ và còn chứa $\omega/2$ số nhỏ hơn $\omega$.

(FRA 2) Cho $n$ là một số nguyên không chia hết cho bất kỳ số chính phương nào lớn hơn $1$. Ký hiệu $x_m$ là chữ số cuối cùng của số $x^m$ trong hệ đếm cơ số $n$. Với những số nguyên $x$ nào thì $x_m$ có thể bằng $0$? Chứng minh rằng dãy $x_m$ tuần hoàn với một chu kỳ $t$ không phụ thuộc vào $x$. Với những $x$ nào thì ta có $x_t=1$. Chứng minh rằng nếu $m$ và $x$ nguyên tố cùng nhau thì $0_m,1_m,\ldots,(n-1)_m$ là các số khác nhau. Tìm chu kỳ nhỏ nhất $t$ theo $n$. Nếu $n$ không thỏa mãn điều kiện đã cho, chứng minh rằng có thể có $x_m=0\ne x_1$ và dãy chỉ tuần hoàn bắt đầu từ một chỉ số $k\gt 1$.

(FRA 3) Cho một đa giác (không nhất thiết lồi) có các đỉnh là những điểm nút của một lưới chữ nhật. Diện tích đa giác là $S$. Nếu $I$ là số điểm nút nằm hoàn toàn bên trong đa giác và $B$ là số điểm nút nằm trên biên đa giác, hãy tìm số $T=2S-B-2I+2$.