Câu hỏi 8
Tim và Tam chơi một trò chơi. Ban đầu, Tim viết lên bảng một số số thực khác 0, không nhất thiết khác nhau. Ở mỗi lượt:
• Trước tiên, Tam chọn đa thức $ P_{k}(x) = a_{k}x^{k} + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} $, trong đó các hệ số $ a_{k}, a_{k-1}, \ldots, a_{1}, a_{0} $ là toàn bộ các số đang có trên bảng, được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Ví dụ, nếu bảng có các số 4, -3, 4 thì k = 2 và Tam có thể chọn $ 4x^{2} - 3x + 4 $ hoặc $ -3x^{2} + 4x + 4 $, nhưng không được chọn $ 4x - 3 $ hoặc $ -3x^{2} - 3x + 4 $.
• Sau đó, nếu phương trình $P_{k}(x)=0$ không có nghiệm thực, trò chơi dừng. Nếu có, Tim chọn một số thực $r$ thỏa mãn $P_{k}(r)=0$ và viết lên bảng, nên số lượng số trên bảng tăng thêm một.
Xác định xem Tim có thể bảo đảm trò chơi không bao giờ dừng, bất kể Tam chơi như thế nào, hay không.
• Trước tiên, Tam chọn đa thức $ P_{k}(x) = a_{k}x^{k} + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} $, trong đó các hệ số $ a_{k}, a_{k-1}, \ldots, a_{1}, a_{0} $ là toàn bộ các số đang có trên bảng, được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Ví dụ, nếu bảng có các số 4, -3, 4 thì k = 2 và Tam có thể chọn $ 4x^{2} - 3x + 4 $ hoặc $ -3x^{2} + 4x + 4 $, nhưng không được chọn $ 4x - 3 $ hoặc $ -3x^{2} - 3x + 4 $.
• Sau đó, nếu phương trình $P_{k}(x)=0$ không có nghiệm thực, trò chơi dừng. Nếu có, Tim chọn một số thực $r$ thỏa mãn $P_{k}(r)=0$ và viết lên bảng, nên số lượng số trên bảng tăng thêm một.
Xác định xem Tim có thể bảo đảm trò chơi không bao giờ dừng, bất kể Tam chơi như thế nào, hay không.