(FRA) Trên một hồ có sáu bến cảng. Có thể tổ chức một hệ thống tuyến đường thỏa mãn các điều kiện sau hay không:
(i) Mỗi tuyến đi qua đúng ba bến;
(ii) Không có hai tuyến nào đi qua cùng một bộ ba bến;
(iii) Với hai bến khác nhau bất kỳ mà một du khách muốn đến, hệ thống có đúng hai tuyến đi qua cả hai bến đó?
(CZS) IMO1. Cho $x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n$ và $y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n$ là hai bộ $n$ số. Chứng minh rằng
$$\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\le\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$$
khi $z_1,z_2,\ldots,z_n$ là các số $y_1,y_2,\ldots,y_n$ được sắp xếp theo một thứ tự khác.
(USA) Tìm số nguyên được biểu diễn bởi $\left[\sum_{n=1}^{10^9}n^{-2/3}\right]$. Ở đây $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (chẳng hạn $[\sqrt2]=1$).
(SWE) Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ là một dãy số thực thỏa mãn $0\le a_n\le1$ và $a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}\ge0$ với $n=1,2,3,\ldots$. Chứng minh rằng
$$0\le(n+1)(a_n-a_{n+1})\le2$$
với $n=1,2,3,\ldots$.
(SWE) Gọi $M$ là tập hợp các số nguyên dương không chứa chữ số 9 (trong hệ thập phân). Nếu $x_1,\ldots,x_n$ là các phần tử tùy ý đôi một khác nhau của $M$, chứng minh rằng
$$\sum_{j=1}^n\frac1{x_j}\lt 80.$$
(GDR) Chứng minh rằng từ $x+y=1$ ($x,y\in\mathbb R$) suy ra
$$x^{m+1}\sum_{j=0}^n\binom{m+j}{j}y^j+y^{n+1}\sum_{i=0}^m\binom{n+i}{i}x^i=1\quad(m,n=0,1,2,\ldots).$$
(NET) IMO3. Trên các cạnh của tam giác tùy ý $ABC$, dựng ra phía ngoài các tam giác $BPC$, $CQA$ và $ARB$ sao cho
$$\angle PBC=\angle CAQ=45^\circ,$$
$$\angle BCP=\angle QCA=30^\circ,$$
$$\angle ABR=\angle BAR=15^\circ.$$
Chứng minh rằng $\angle QRP=90^\circ$ và $QR=RP$.
(NET) Cho $f(x)$ là một hàm liên tục xác định trên đoạn $0\le x\le1$. Ký hiệu $G(f)$ là đồ thị của $f(x)$: $G(f)=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x\le1,y=f(x)\}$. Ký hiệu $G_a(f)$ là đồ thị của hàm tịnh tiến $f(x-a)$ (tịnh tiến một khoảng $a$), xác định bởi $G_a(f)=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid a\le x\le a+1,y=f(x-a)\}$. Có thể, với mọi $a$, $0\lt a\lt 1$, tìm được một hàm liên tục $f(x)$ xác định trên $0\le x\le1$, sao cho $f(0)=f(1)=0$ và $G(f)$, $G_a(f)$ là hai tập điểm rời nhau hay không?
(GBR) IMO6. Hàm $f(x,y)$ là một đa thức thuần nhất bậc $n$ theo $x$ và $y$. Nếu $f(1,0)=1$ và với mọi $a,b,c$,
$$f(a+b,c)+f(b+c,a)+f(c+a,b)=0,$$
hãy chứng minh rằng $f(x,y)=(x-2y)(x+y)^{n-1}$.
(GBR) IMO2. Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy vô hạn tùy ý các số nguyên dương tăng nghiêm ngặt. (Với mọi số nguyên $i\gt 0$, $a_{i+1}\gt a_i$.) Chứng minh rằng có vô hạn chỉ số $m$ mà ta tìm được các số nguyên dương $x,y,h,k$ sao cho $0\lt h\lt k\lt m$ và $a_m=xa_h+ya_k$.
(GRE) Xét trên góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác các cung $AM_1=x_1$, $AM_2=x_2$, $AM_3=x_3$, $\ldots$, $AM_\nu=x_\nu$, sao cho $x_1\lt x_2\lt x_3\lt \cdots\lt x_\nu$. Chứng minh rằng
$$\sum_{i=0}^{\nu-1}\sin2x_i-\sum_{i=0}^{\nu-1}\sin(x_i-x_{i+1})\lt \frac\pi2+\sum_{i=0}^{\nu-1}\sin(x_i+x_{i+1}).$$
(ROM) Cho $A_0,A_1,\ldots,A_n$ là các điểm trong mặt phẳng sao cho
(i) $A_0A_1\le\frac12A_1A_2\le\cdots\le\frac1{2^{n-1}}A_{n-1}A_n$ và
(ii) $0\lt \angle A_0A_1A_2\lt \angle A_1A_2A_3\lt \cdots\lt \angle A_{n-2}A_{n-1}A_n\lt 180^\circ$,
trong đó tất cả các góc này có cùng hướng. Chứng minh rằng các đoạn thẳng $A_kA_{k+1},A_mA_{m+1}$ không cắt nhau với mỗi $k$ và $n$ sao cho $0\le k\le m-2\lt n-2$.
(USS) IMO5. Có thể đặt 1975 điểm trên một đường tròn bán kính 1 sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là số hữu tỉ hay không (khoảng cách phải được đo theo dây cung)?