Cho số nguyên dương $n$ và các số thực tùy ý $a_{1}, \ldots, a_{n-1}$. Định nghĩa các dãy $u_{0}, \ldots, u_{n}$, $v_{0}, \ldots, v_{n}$ bằng quy nạp: $u_{0}=u_{1}=v_{0}=v_{1}=1$, và
Cho số nguyên dương $n$, và dãy số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. Mở rộng tuần hoàn thành dãy vô hạn $a_{1}, a_{2}, \ldots$ bằng cách định nghĩa $a_{n+i}=a_{i}$ với mọi $i \geqslant 1$. Nếu
Gọi $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ là tập tất cả số nguyên không âm. Tìm mọi hàm $f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ thỏa mãn
Cho số nguyên dương $n$. Tìm số nguyên nhỏ nhất $k$ có tính chất sau: với bất kỳ các số thực $a_{1}, \ldots, a_{d}$ thỏa mãn $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{d}=n$, $0 \leqslant a_{i} \leqslant 1$ với $i=1,2, \ldots, d$, có thể chia các số này thành $k$ nhóm, cho phép nhóm rỗng, sao cho tổng các số trong mỗi nhóm không vượt quá 1.
Trong mặt phẳng, đánh dấu 2013 điểm đỏ và 2014 điểm xanh sao cho không có ba điểm được đánh dấu thẳng hàng. Cần vẽ $k$ đường thẳng không đi qua điểm được đánh dấu, chia mặt phẳng thành các miền, sao cho không miền nào chứa điểm thuộc cả hai màu.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để có thể đạt mục tiêu với mọi cấu hình 4027 điểm.
Một nhà vật lý kỳ quặc phát hiện loại hạt mới và gọi là imon, sau khi một số hạt xuất hiện bí ẩn trong phòng thí nghiệm. Một số cặp imon có thể liên đới; mỗi imon có thể tham gia nhiều quan hệ liên đới. Nhà vật lý có thể thực hiện từng thao tác thuộc hai loại sau.
(i) Nếu một imon liên đới với một số lẻ imon khác trong phòng thí nghiệm, có thể hủy nó.
(ii) Bất cứ lúc nào, có thể nhân đôi toàn bộ họ imon bằng cách tạo bản sao $I^{\prime}$ của mỗi imon $I$. Khi đó hai bản sao $I^{\prime}$, $J^{\prime}$ liên đới khi và chỉ khi các imon gốc $I$, $J$ liên đới; mỗi bản sao $I^{\prime}$ liên đới với imon gốc $I$. Không quan hệ liên đới nào khác xuất hiện hoặc mất đi lúc này.
Chứng minh nhà vật lý có thể thực hiện một dãy thao tác để nhận được họ imon không có hai hạt nào liên đới.
Cho số nguyên dương $n$, và tập con $A$ của $\{1, \ldots, n\}$. Một phân hoạch $A$ của $n$ thành $k$ phần là biểu diễn $n$ thành tổng $n=a_{1}+\cdots+a_{k}$, trong đó các phần $a_{1}, \ldots, a_{k}$ thuộc $A$, không nhất thiết phân biệt. Số phần khác nhau là số phần tử phân biệt của tập $\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right\}$.
Một phân hoạch $A$ của $n$ thành $k$ phần được gọi là tối ưu nếu không có phân hoạch $A$ của $n$ thành $r$ phần, với $r\lt k$. Chứng minh mọi phân hoạch $A$ tối ưu của $n$ có tối đa $\sqrt[3]{6 n}$ phần khác nhau.
Cho số nguyên dương $r$, và dãy số thực vô hạn $a_{0}, a_{1}, \ldots$. Giả sử với mọi số nguyên không âm $m$, $s$, tồn tại số nguyên dương $n \in[m+1, m+r]$ sao cho
Trong một nước, một số cặp thành phố được nối bằng chuyến bay trực tiếp hai chiều. Có thể đi từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố khác bằng một dãy chuyến bay. Khoảng cách giữa hai thành phố là số chuyến bay ít nhất cần dùng để đi từ thành phố này đến thành phố kia. Biết rằng với mỗi thành phố, có tối đa 100 thành phố cách nó đúng ba chuyến bay. Chứng minh không thành phố nào có hơn 2550 thành phố khác cách nó đúng bốn chuyến bay.
Cho số nguyên $n \geqslant 2$. Xét mọi cách xếp vòng tròn các số $0,1, \ldots, n$; các $n+1$ phép quay của một cách xếp được coi là như nhau. Cách xếp được gọi là đẹp nếu với bất kỳ bốn số phân biệt $0 \leqslant a, b, c, d \leqslant n$ thỏa mãn $a+c=b+d$, dây nối các số $a$, $c$ không cắt dây nối các số $b$, $d$.
Gọi $M$ là số cách xếp đẹp của $0,1, \ldots, n$. Gọi $N$ là số cặp số nguyên dương $(x, y)$ sao cho $x+y \leqslant n$, $\operatorname{gcd}(x, y)=1$. Chứng minh
Hai người chơi $A$, $B$ chơi trò tô mực trên trục số thực. Người $A$ có một bình chứa bốn đơn vị mực đen. Lượng mực $p$ đủ tô đen một đoạn đóng có độ dài p. Trong mỗi lượt, người $A$ chọn số nguyên dương $m$, lấy $1 / 2^{m}$ đơn vị mực từ bình. Người $B$ chọn số nguyên $k$, tô đen đoạn từ $k / 2^{m}$ đến $(k+1) / 2^{m}$; một số phần có thể đã được tô trước đó. Mục tiêu của $A$ là làm bình hết mực trong khi đoạn $[0,1]$ chưa được tô đen hoàn toàn.
Xác định liệu $A$ có chiến lược thắng trong hữu hạn lượt hay không.
Cho tam giác nhọn $A B C$, trực tâm $H$, và điểm $W$ trên cạnh $B C$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là chân các đường cao từ $B$, $C$. Gọi $\omega_{1}$ là đường tròn ngoại tiếp $B W N$, và $X$ là điểm trên $\omega_{1}$ đối diện $W$ qua một đường kính. Tương tự, gọi $\omega_{2}$ là đường tròn ngoại tiếp $C W M$, và $Y$ là điểm trên $\omega_{2}$ đối diện $W$ qua một đường kính. Chứng minh $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.
Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A B$, $A C$; điểm $T$ là trung điểm $\operatorname{arc} B C$ của $\omega$ không chứa $A$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A M T$, $A N T$ cắt trung trực của $A C$, $A B$ lần lượt tại $X$, $Y$; giả sử $X$, $Y$ nằm trong tam giác $A B C$. Các đường $M N$, $X Y$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $K A=K T$.
Trong tam giác $A B C$, gọi $D$, $E$ lần lượt là chân các phân giác góc $A$, $B$. Một hình thoi nội tiếp tứ giác $A E D B$, nghĩa là tất cả đỉnh hình thoi thuộc các cạnh khác nhau của $A E D B$. Gọi $\varphi$ là góc không tù của hình thoi. Chứng minh $\varphi \leqslant \max \{\angle B A C, \angle A B C\}$.
Cho tam giác $A B C$, với $\angle B\gt \angle C$. Chọn hai điểm khác nhau $P$, $Q$ trên đường $A C$ sao cho $\angle P B A=\angle Q B A=\angle A C B$, và $A$ nằm giữa $P$, $C$. Giả sử có điểm $D$ nằm trong đoạn $B Q$ sao cho $P D=P B$. Tia $A D$ cắt đường tròn $A B C$ tại $R \neq A$. Chứng minh $Q B=Q R$.
Cho lục giác lồi $A B C D E F$, với $A B=D E, B C=E F, C D=F A$, và $\angle A-\angle D=\angle C-\angle F=\angle E-\angle B$. Chứng minh các đường chéo $A D, B E$, $C F$ đồng quy.
Đường tròn bàng tiếp tam giác $A B C$ đối diện $A$ tiếp xúc cạnh $B C$ tại $A_{1}$. Định nghĩa $B_{1}$, $C_{1}$ tương tự. Giả sử tâm ngoại tiếp tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Chứng minh tam giác $A B C$ vuông.