Cho số thực $q$. Gugu có khăn ghi mười số thực đôi một khác nhau và viết ba dòng số lên bảng:
- Dòng thứ nhất ghi mọi số dạng $a-b$, với $a$, $b$ là hai số trên khăn, có thể giống nhau.
- Dòng thứ hai ghi mọi số dạng $q a b$, với $a$, $b$ là hai số ở dòng thứ nhất, có thể giống nhau.
- Dòng thứ ba ghi mọi số dạng $a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}$, với $a, b, c, d$ là bốn số ở dòng thứ nhất, không nhất thiết khác nhau.
Xác định mọi giá trị $q$ sao cho với bất kỳ mười số trên khăn, mọi số dòng thứ hai đều có ở dòng thứ ba.
Cho tập hữu hạn $S$; gọi $\mathcal{A}$ là tập các hàm từ $S$ đến $S$. Cho $f$ thuộc $\mathcal{A}$, gọi $T=f(S)$ là ảnh của $S$ qua $f$. Giả sử $f \circ g \circ f \neq g \circ f \circ g$ với mọi $g$ trong $\mathcal{A}$, thỏa mãn $g \neq f$. Chứng minh $f(T)=T$.
Cho số nguyên $n \geqslant 3$. Bộ $n$ số thực $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ gọi là sáng nếu với mỗi hoán vị $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ của chúng, có
Giả sử hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: với mọi $x, y \in \mathbb{R}$ sao cho $(f(x)+y)(f(y)+x)\gt 0$, có $f(x)+y=f(y)+x$. Chứng minh $f(x)+y \leqslant f(y)+x$ khi $x\gt y$.
Hình chữ nhật $\mathcal{R}$ có độ dài các cạnh là số nguyên lẻ, được chia thành các hình chữ nhật nhỏ có cạnh nguyên. Chứng minh có ít nhất một hình nhỏ mà khoảng cách đến bốn cạnh của $\mathcal{R}$ đều lẻ hoặc đều chẵn.
Cho số nguyên dương $n$. Một tắc kè là chuỗi $3 n$ chữ cái, trong đó mỗi chữ $a, b$, $c$ xuất hiện đúng $n$ lần. Phép đổi chỗ là đổi vị trí hai chữ liền nhau trong chuỗi. Chứng minh với mỗi tắc kè $X$, có tắc kè $Y$ sao cho không biến $X$ thành $Y$ bằng ít hơn $3 n^{2} / 2$ phép đổi chỗ.
Sir Alex chơi trên một hàng 9 ô, ban đầu đều trống. Mỗi lượt thực hiện đúng một trong hai thao tác:
(1) Chọn số dạng $2^{j}$, với số nguyên không âm $j$, đặt vào ô trống.
(2) Chọn hai ô, không nhất thiết liền nhau, chứa cùng số $2^{j}$; thay số trong một ô bằng $2^{j+1}$, xóa số ở ô kia.
Cuối trò chơi, một ô chứa $2^{n}$, với số nguyên dương cho trước $n$, các ô còn lại trống. Tìm số lượt lớn nhất có thể, theo $n$.
Cho số nguyên $N \geqslant 2$. Có $N(N+1)$ cầu thủ bóng đá với chiều cao đôi một khác nhau, đứng thành một hàng theo thứ tự nào đó. Huấn luyện viên Ralph muốn bỏ $N(N-1)$ người để còn $2 N$ người, sao cho hai người cao nhất đứng liền nhau, người cao thứ ba và thứ tư đứng liền nhau, và cứ thế đến hai người thấp nhất. Chứng minh luôn làm được.
Thợ săn và thỏ vô hình chơi trên mặt phẳng Euclid. Điểm xuất phát $H_{0}$ của thợ săn trùng $R_{0}$ của thỏ. Ở vòng thứ $n$, với $n \geqslant 1$:
(1) Thỏ bí mật di chuyển từ điểm $R_{n-1}$ đến $R_{n}$, với $R_{n-1} R_{n}=1$.
(2) Thiết bị theo dõi của thợ săn, chẳng hạn chó, trả vị trí xấp xỉ $R_{n}^{\prime}$ của thỏ, sao cho $R_{n} R_{n}^{\prime} \leqslant 1$.
(3) Thợ săn di chuyển công khai từ $H_{n-1}$ đến $H_{n}$, với $H_{n-1} H_{n}=1$.
Có chiến thuật nào bảo đảm sau $10^{9}$ vòng, khoảng cách giữa thợ săn và thỏ nhỏ hơn 100 không?
Cho số nguyên $n\gt 1$. Khối lập phương $n \times n \times n$ gồm $n^{3}$ khối lập phương đơn vị, mỗi khối được tô một màu. Với mỗi hộp $n \times n \times 1$ gồm $n^{2}$ khối đơn vị, theo một trong ba hướng, xét tập các màu xuất hiện, mỗi màu chỉ liệt kê một lần. Có $3 n$ tập màu, chia thành ba nhóm theo hướng. Mỗi tập trong một nhóm đều xuất hiện ở cả hai nhóm còn lại. Xác định số màu lớn nhất có thể, theo $n$.
Với các tập hữu hạn số nguyên dương $X$, $Y$, ký hiệu $f_{X}(k)$ là số nguyên dương nhỏ thứ $k^{\mathrm{th}}$ không thuộc $X$, đặt
$$
X * Y=X \cup\left\{f_{X}(y): y \in Y\right\}
$$
Cho $A$ gồm $a\gt 0$ số nguyên dương, $B$ gồm $b\gt 0$ số nguyên dương. Nếu $A * B=B * A$, chứng minh
$$
\underbrace{A *(A * \cdots *(A *(A * A)) \ldots)}_{A \text{ xuất hiện } b \text{ thời gian }}=\underbrace{B *(B * \cdots *(B *(B * B)) \ldots)}_{B \text{ xuất hiện } a \text{ thời gian }} .
$$
Cho số nguyên dương $n$. Ban đầu, mỗi điểm nguyên tọa độ không âm trên mặt phẳng tọa độ có một con bướm, ngoài ra không có bướm. Lân cận của điểm nguyên $c$ gồm mọi điểm nguyên trong hình vuông $(2 n+1) \times$ $(2 n+1)$, tâm $c$, cạnh song song các trục, trừ chính $c$. Một con bướm gọi là cô đơn, đông đúc hoặc thoải mái, khi số bướm trong lân cận $N$ của nó lần lượt nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng nửa số điểm nguyên trong $N$.
Mỗi phút, tất cả bướm cô đơn đồng thời bay đi. Quá trình tiếp tục khi còn bướm cô đơn. Giả sử quá trình cuối cùng dừng, xác định số bướm thoải mái ở trạng thái cuối.
Cho ngũ giác lồi $A B C D E$ sao cho $A B=B C=C D, \angle E A B=\angle B C D$, $\angle E D C=\angle C B A$. Chứng minh đường thẳng qua $E$ vuông góc $B C$ và các đoạn $A C$, $B D$ đồng quy.
Cho hai điểm khác nhau $R$, $S$ trên đường tròn $\Omega$; $t$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$. Điểm $R^{\prime}$ đối xứng với $R$ qua $S$. Chọn $I$ trên cung nhỏ $R S$ của $\Omega$, sao cho đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác $I S R^{\prime}$ cắt $t$ tại hai điểm khác nhau. Gọi $A$ là điểm chung của $\Gamma$, $t$ gần $R$ hơn. Đường thẳng $A I$ cắt lại $\Omega$ tại $J$. Chứng minh $J R^{\prime}$ tiếp xúc $\Gamma$.
Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác nhọn không cân $A B C$. Đường thẳng $O A$ cắt các đường cao của $A B C$ qua $B$, $C$, lần lượt tại $P$, $Q$. Các đường cao gặp nhau ở $H$. Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác $P Q H$ nằm trên một trung tuyến của tam giác $A B C$.
Trong tam giác $A B C$, gọi $\omega$ là đường tròn bàng tiếp đối diện $A$. Các điểm $D, E$, $F$ là tiếp điểm của $\omega$ với các đường thẳng $B C, C A$, $A B$ tương ứng. Đường tròn $A E F$ cắt đường thẳng $B C$ tại $P$, $Q$. Gọi $M$ là trung điểm $A D$. Chứng minh đường tròn $M P Q$ tiếp xúc $\omega$.