IMO 2016 — Toàn bộ Shortlist

Cho các số thực dương $a, b$, $c$ thỏa mãn $\min \{a b, b c, c a\} \geqslant 1$. Chứng minh

$$
\sqrt[3]{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(c^{2}+1\right)} \leqslant\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{2}+1
$$

Tìm hằng số thực nhỏ nhất $C$ sao cho với các số thực dương bất kỳ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, $a_{5}$, không nhất thiết khác nhau, luôn chọn được các chỉ số đôi một khác nhau $i, j, k$, $l$ thỏa mãn

$$
\left|\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{k}}{a_{l}}\right| \leqslant C .
$$

Tìm mọi số nguyên $n \geqslant 3$ có tính chất: với mọi số thực $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ thỏa mãn $\left|a_{k}\right|+\left|b_{k}\right|=1$ với $1 \leqslant k \leqslant n$, tồn tại $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, mỗi số bằng −1 hoặc 1, sao cho

$$
\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \leqslant 1
$$

Ký hiệu $\mathbb{R}^{+}$ là tập số thực dương. Tìm mọi hàm $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ sao cho

$$
x f\left(x^{2}\right) f(f(y))+f(y f(x))=f(x y)\left(f\left(f\left(x^{2}\right)\right)+f\left(f\left(y^{2}\right)\right)\right)
$$

với mọi số thực dương $x$, $y$.

(a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại phân số $\frac{a}{b}$ với các số nguyên $a$, $b$ thỏa mãn $0\lt b \leqslant \sqrt{n}+1$, $\sqrt{n} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \sqrt{n+1}$.
(b) Chứng minh có vô số số nguyên dương $n$ sao cho không tồn tại phân số $\frac{a}{b}$ với các số nguyên $a$, $b$ thỏa mãn $0\lt b \leqslant \sqrt{n}$, $\sqrt{n} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \sqrt{n+1}$.

Trên bảng có phương trình

$$
(x-1)(x-2) \cdots(x-2016)=(x-1)(x-2) \cdots(x-2016)
$$

Xóa một số nhân tử bậc nhất ở hai vế, sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực. Tìm số nhân tử bậc nhất ít nhất cần xóa.

Ký hiệu $\mathbb{R}$ là tập số thực. Tìm mọi hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0) \neq 0$ và

$$
f(x+y)^{2}=2 f(x) f(y)+\max \left\{f\left(x^{2}\right)+f\left(y^{2}\right), f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}
$$

với mọi số thực $x$, $y$.

Xác định số thực lớn nhất $a$ sao cho với mọi $n \geqslant 1$ và mọi số thực $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ thỏa mãn $0=x_{0}\lt x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{n}$, có

$$
\frac{1}{x_{1}-x_{0}}+\frac{1}{x_{2}-x_{1}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}-x_{n-1}} \geqslant a\left(\frac{2}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}+\cdots+\frac{n+1}{x_{n}}\right) .
$$

Trưởng đoàn IMO chọn các số nguyên dương $n$, $k$ với $n\gt k$, rồi thông báo cho phó đoàn và một thí sinh. Trưởng đoàn bí mật cho phó đoàn biết một chuỗi nhị phân dài $n$ chữ số; phó đoàn viết tất cả chuỗi dài $n$ chữ số khác chuỗi ấy ở đúng $k$ vị trí. Ví dụ, với $n=3$, $k=1$, chuỗi trưởng đoàn chọn là 101 thì phó đoàn viết 001, 111, 100. Thí sinh được xem các chuỗi phó đoàn viết và đoán chuỗi trưởng đoàn. Tìm số lần đoán ít nhất, theo $n$, $k$, để chắc chắn đoán đúng.

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho có thể xếp tất cả ước dương của $n$ vào bảng chữ nhật, thỏa mãn:

- mỗi ô chứa một ước khác nhau;
- tổng mỗi hàng bằng nhau;
- tổng mỗi cột bằng nhau.

Cho số nguyên dương $n$ nguyên tố cùng nhau với 6. Tô các đỉnh đa giác đều $n$ cạnh bằng ba màu, mỗi màu xuất hiện ở số đỉnh lẻ. Chứng minh có tam giác cân với ba đỉnh mang ba màu khác nhau.

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho điền được bảng $n \times n$ thỏa mãn:

- mỗi ô chứa một trong $I, M$, $O$;
- trong mỗi hàng và mỗi cột, số lần xuất hiện các chữ $I, M$, $O$ bằng nhau;
- trên mỗi đường chéo có số ô là bội của ba, số lần xuất hiện các chữ $I, M$, $O$ bằng nhau.

Cho số nguyên dương $n \geqslant 3$. Tìm số đường chéo lớn nhất có thể chọn trong đa giác đều $n$ cạnh, sao cho hai đường bất kỳ không cắt nhau trong miền trong, hoặc vuông góc với nhau.

Một thành phố có $n \geqslant 3$ đảo. Ban đầu, công ty phà cung cấp tuyến giữa một số cặp đảo sao cho không thể chia các đảo thành hai nhóm mà không có tuyến phà nối hai đảo khác nhóm.

Sau mỗi năm, công ty đóng tuyến giữa hai đảo $X$, $Y$. Đồng thời, với mỗi đảo đang có tuyến nối đúng một trong $X$, $Y$, công ty mở tuyến nối đảo ấy với đảo còn lại trong $X$, $Y$.

Giả sử tại mọi thời điểm, khi chia các đảo thành hai nhóm không rỗng theo bất kỳ cách nào, một tuyến nối hai đảo khác nhóm sẽ bị đóng sau một số năm. Chứng minh sau một số năm có một đảo có tuyến phà nối với tất cả đảo khác.

Cho số nguyên $n \geqslant 2$. Có $n$ đoạn thẳng trong mặt phẳng, hai đoạn bất kỳ cắt nhau tại một điểm trong của cả hai, và không có ba đoạn đồng quy. Jeff đặt một con ốc sên ở một đầu mút mỗi đoạn và vỗ tay $n-1$ lần. Mỗi lần vỗ tay, các con ốc đi dọc đoạn của mình đến giao điểm tiếp theo, rồi chờ. Mỗi đoạn có $n-1$ giao điểm, nên sau $n-1$ lần vỗ tay, các con ốc đến giao điểm xa đầu xuất phát nhất.
(a) Nếu $n$ lẻ, chứng minh Jeff luôn đặt được các con ốc sao cho không có hai con cùng chiếm một giao điểm.
(b) Nếu $n$ chẵn, chứng minh dù Jeff đặt thế nào cũng có lúc hai con cùng chiếm một giao điểm.

Cho số nguyên dương $n$. Xác định số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho đánh dấu được $k$ ô trên bảng $2 n \times 2 n$, để tồn tại duy nhất một cách chia bảng thành các quân domino $1 \times 2$, $2 \times 1$, không quân nào chứa hai ô được đánh dấu.

Trong ngũ giác lồi $A B C D E$, lấy $F$ trên $A C$ sao cho $\angle F B C=90^{\circ}$. Các tam giác $A B F, A C D$, $A D E$ là hai tam giác cân đồng dạng với

$$
\angle F A B=\angle F B A=\angle D A C=\angle D C A=\angle E A D=\angle E D A
$$

Gọi $M$ là trung điểm $C F$. Chọn $X$ sao cho $A M X E$ là hình bình hành. Chứng minh $B D, E M$, $F X$ đồng quy.

Cho tam giác $A B C$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$, tâm nội tiếp $I$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$, $D$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống cạnh $B C$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $A I$ cắt các cạnh $A B$, $A C$ lần lượt tại $F$, $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$ cắt $\Gamma$ tại điểm $X$ khác $A$. Chứng minh các đường thẳng $X D$, $A M$ gặp nhau trên $\Gamma$.

Cho các điểm cố định $B=(-1,0)$, $C=(1,0)$ trên mặt phẳng tọa độ. Tập con không rỗng, bị chặn $S$ của mặt phẳng gọi là tốt nếu:
(i) có $T$ trong $S$ sao cho với mọi điểm $Q$ trong $S$, đoạn $T Q$ nằm hoàn toàn trong $S$;
(ii) với mọi tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, tồn tại duy nhất một điểm $A$ trong $S$ và một hoán vị $\sigma$ của các chỉ số $\{1,2,3\}$, sao cho các tam giác $A B C$, $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.

Chứng minh có hai tập con tốt khác nhau $S$, $S^{\prime}$ của tập $\{(x, y): x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$, sao cho nếu $A \in S$, $A^{\prime} \in S^{\prime}$ là các điểm được chọn duy nhất theo (ii), thì tích $B A \cdot B A^{\prime}$ là hằng số không phụ thuộc tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$.

Cho tam giác $A B C$ với $A B=A C \neq B C$, tâm nội tiếp $I$. Đường thẳng $B I$ cắt $A C$ tại $D$; đường thẳng qua $D$ vuông góc $A C$ cắt $A I$ tại $E$. Chứng minh ảnh đối xứng của $I$ qua $A C$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $B D E$.