Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2024

Xác định mọi số thực $ \alpha $ sao cho

$$ \left\lfloor\alpha\right\rfloor+\left\lfloor2\alpha\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor n\alpha\right\rfloor $$

là bội của n với mọi số nguyên dương n. (Ở đây $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá z.)

Cho n là số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$$ S=2^{0}x_{0}^{2}+2^{1}x_{1}^{2}+\cdots+2^{n}x_{n}^{2}, $$

trong đó $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $x_{0} + x_{1} + \cdots + x_{n} = n$.

Xét xem khẳng định sau có đúng hay không: với mọi dãy số thực dương $ (a_{n}) $, bất đẳng thức

$$ \frac{3^{a_{1}}+3^{a_{2}}+\cdots+3^{a_{n}}}{(2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+\cdots+2^{a_{n}})^{2}} \lt \frac{1}{2024} $$

đúng với ít nhất một số nguyên dương n.

Nhận xét. Có thể nêu câu hỏi dưới nhiều dạng như sau:

(i) yêu cầu học sinh chứng minh sự tồn tại của một số n như trên;

(ii) yêu cầu học sinh chứng minh rằng điều đó đúng với mọi n đủ lớn;

(iii) cho một số nguyên dương cụ thể N và yêu cầu chứng minh điều đó với mọi $n\gt N$.

Các lời giải bên dưới đưa ra những chặn khác nhau cho N.

Gọi $\mathbb{Z}_{ \gt 0}$ là tập hợp các số nguyên dương. Xác định tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^0, 2^1, 2^2, \ldots\}$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{Z}_{ \gt 0} \to \mathbb{Z}_{ \gt 0}$ thỏa mãn

$$ \mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{ \gt 0}\}. $$

Tìm tất cả các dãy số thực tuần hoàn $ a_{1}, a_{2}, \ldots $ sao cho với mọi $ n \geqslant 1 $, các điều kiện sau đều được thỏa mãn:

$$ a_{n+2}+a_{n}^{2}=a_{n}+a_{n+1}^{2}\qquad\text{và}\qquad|a_{n+1}-a_{n}|\leqslant1. $$

Cho $ a_0, a_1, a_2, \ldots $ là một dãy vô hạn, tăng nghiêm ngặt gồm các số nguyên dương, sao cho với mỗi $ n \geq 1 $ ta có

$$ a_{n}\in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\right\}. $$

Gọi $b_{1}, b_{2}, \ldots$ là dãy chữ cái vô hạn được xác định bởi

$$ b_{n}=\begin{cases}A,&\text{nếu} a_{n}=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n+1});\\G,&\text{mặt khác}.\end{cases} $$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $ n_{0} $ và d sao cho với mọi $ n \geq n_{0} $, ta có $ b_{n+d} = b_{n} $.

Gọi Q là tập hợp các số hữu tỉ. Cho hàm số $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ có tính chất sau: với mọi $x, y \in \mathbb{Q}$, ít nhất một trong hai đẳng thức sau đúng:

$$ f(x+f(y))=f(x)+y\qquad \text{hoặc}\qquad f(f(x)+y)=x+f(y). $$

Xác định số phần tử lớn nhất có thể của tập hợp $ \{f(x) + f(-x) \mid x \in \mathbb{Q}\} $.

Cho $p \neq q$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn gồm các số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots$ sao cho với mọi $n \geq 1$, các điều kiện sau đều được thỏa mãn:

$$ \begin{aligned}\max(a_{n},a_{n+1},\cdots,a_{n+p})&-\min(a_{n},a_{n+1},\cdots,a_{n+p})=p\qquad \text{và}\\\max(a_{n},a_{n+1},\cdots,a_{n+q})&-\min(a_{n},a_{n+1},\cdots,a_{n+q})=q.\end{aligned} $$

Cho $n$ là số nguyên dương. Một lớp có $n$ học sinh tham gia $n$ cuộc đua; mỗi cuộc đua có thứ hạng phân biệt, không có đồng hạng. Với hai số nguyên dương $b$ và $(a,b)$, một học sinh đạt mức đánh giá $a$ nếu em đó đứng trong $b$ vị trí đầu ở ít nhất $a$ cuộc đua. Điểm cuối cùng của học sinh là giá trị lớn nhất của $a-b$ trên tất cả các mức đánh giá mà em đạt được.

Tìm tổng điểm lớn nhất có thể của toàn bộ $n$ học sinh.

Cho $n$ là số nguyên dương. Viết các số nguyên 1, 2, 3, ..., $n^{2}$ vào bảng $n \times n$ sao cho mỗi số được viết vào đúng một ô và mỗi ô chứa đúng một số. Với mỗi số nguyên $d$ thỏa mãn $d \mid n$, phép chia $d$ của bảng là phép chia thành $(n/d)^{2}$ bảng con không chồng lên nhau, mỗi bảng con có kích thước $d \times d$, sao cho mỗi ô thuộc đúng một bảng con $d \times d$.

Gọi $n$ là số cool nếu có thể viết các số như trên vào bảng $n\times n$ sao cho với mỗi số nguyên $d$ thỏa mãn $d\mid n$ và $1 \lt d \lt n$, trong phép chia $d$, tổng các số trong mỗi bảng con $d\times d$ đều không là bội của $d$.

Xác định tất cả các số cool chẵn.

Cho n là số nguyên dương. Có 2n hiệp sĩ ngồi quanh một bàn tròn, chia thành n cặp bạn đồng hành; mỗi cặp muốn bắt tay nhau. Hai người trong một cặp chỉ có thể bắt tay khi ngồi cạnh nhau. Mỗi phút, một cặp hiệp sĩ ngồi cạnh nhau đổi chỗ.

Tìm số lần đổi chỗ ít nhất cần thiết để, với mọi cách sắp xếp ban đầu, mỗi hiệp sĩ đều có thể gặp và bắt tay bạn đồng hành của mình vào một thời điểm nào đó.

Trên một bảng gồm 2024 hàng và 2023 cột, chú ốc sên Turbo cố đi từ hàng đầu đến hàng cuối. Trong mỗi lần thử, Turbo chọn một ô bất kỳ ở hàng đầu để xuất phát, rồi mỗi bước đi sang một ô kề có chung cạnh. Turbo thắng nếu đến được một ô bất kỳ ở hàng cuối. Tuy nhiên, có 2022 quái vật ẩn tại 2022 ô đã được cố định trước: mỗi hàng, trừ hàng đầu và hàng cuối, có đúng một quái vật, và không có hai quái vật nào cùng cột. Nếu Turbo đến một ô có quái vật thì lần thử đó kết thúc; Turbo được đưa về hàng đầu để bắt đầu lần thử mới. Các quái vật không di chuyển.

Giả sử Turbo được phép thử n lần. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để Turbo có một chiến lược bảo đảm đến hàng cuối, bất kể vị trí của các quái vật.

Đặt $N$ là số nguyên dương. Geoff và Ceri chơi một trò chơi trong đó họ bắt đầu bằng cách viết các số 1, 2, ..., $N$ lên bảng. Sau đó, họ lần lượt thực hiện nước đi, bắt đầu với Geoff. Mỗi nước đi bao gồm việc chọn một cặp số nguyên $(k, n)$, trong đó $k \geq 0$ và $n$ là một trong các số nguyên trên bảng, sau đó xóa mọi số nguyên $s$ trên bảng sao cho $2^k \mid n - s$. Trò chơi tiếp tục cho đến khi bảng trống. Người chơi nào xóa số nguyên cuối cùng trên bảng sẽ thua cuộc.

Xác định tất cả các giá trị của N mà Geoff có thể đảm bảo rằng mình thắng, bất kể Ceri chơi như thế nào.

Cho $n$ và $T$ là các số nguyên dương. James có $4n$ viên bi với trọng lượng lần lượt là 1, 2, ..., $4n$. James đặt chúng lên một cân đĩa sao cho hai bên có tổng trọng lượng bằng nhau. Andrew được chuyển một viên bi từ một bên cân sang bên kia, với điều kiện trị tuyệt đối của hiệu tổng trọng lượng hai bên luôn không vượt quá $T$.

Tìm số nguyên dương T nhỏ nhất, theo n, để Andrew có thể thực hiện một dãy các bước chuyển khiến mỗi viên bi cuối cùng nằm ở bên đối diện so với ban đầu, bất kể cách James đặt các viên bi lúc đầu.

Cho $N$ là số nguyên dương và $a_1, a_2, \ldots$ là một dãy vô hạn gồm các số nguyên dương. Giả sử với mỗi $n \gt N$, số $a_n$ bằng số lần $a_{n-1}$ xuất hiện trong danh sách $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$.

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai dãy $ a_{1} $, $ a_{3} $, $ a_{5} $, ... và $ a_{2} $, $ a_{4} $, $ a_{6} $, ... tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó.

Cho $n$ là số nguyên dương. Trên một bảng $n \times n$, ô vuông đơn vị ở góc trên bên trái ban đầu được tô đen, còn các ô khác được tô trắng. Ta thực hiện một dãy các thao tác tô màu: mỗi lần chọn một hình vuông $2 \times 2$ có đúng một ô đen và tô đen ba ô còn lại của hình vuông $2 \times 2$ đó.

Xác định tất cả các giá trị của n để có thể tô đen toàn bộ bảng.

Đặt $ABCD$ là tứ giác nội tiếp sao cho $AC \lt BD \lt AD$ và $\angle DBA \lt 90^{\circ}$. Điểm $E$ nằm trên đường thẳng qua $D$ song song với $AB$ sao cho $E$ và $C$ nằm ở hai phía đối diện của đường thẳng $AD$ và $AC = DE$. Điểm $F$ nằm trên đường thẳng qua $A$ song song với $CD$ sao cho $F$ và $C$ nằm ở hai phía đối diện của đường thẳng $AD$ và $BD = AF$.

Chứng minh rằng các đường trung trực của các đoạn BC và EF cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp của ABCD.

Cho $ABC$ là một tam giác với $AB \lt AC \lt BC$, tâm nội tiếp $I$ và đường tròn nội tiếp $\omega$. Gọi $X$ là điểm bên trong cạnh $BC$ sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$. Tương tự, gọi $Y$ là điểm bên trong cạnh $BC$ sao cho đường thẳng đi qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ lần thứ hai tại $P \neq A$. Đặt $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$.

Chứng minh rằng $ \angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ} $.

Cho ABCDE là ngũ giác lồi và M là trung điểm của AB. Giả sử đoạn AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác CME tại M và D nằm trên các đường tròn ngoại tiếp của tam giác AME và BMC. Các đường thẳng AD và ME cắt nhau tại K, các đường thẳng BD và MC cắt nhau tại L. Các điểm P và Q nằm trên đường thẳng EC sao cho $ \angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB $.

Chứng minh rằng các đường thẳng $ KP, LQ $ và MD đồng quy.

Cho tứ giác ABCD có AB song song với CD và AB < CD. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm P. Điểm $ X \neq C $ trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC sao cho $ PC = PX $. Điểm $ Y \neq D $ trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD sao cho $ PD = PY $. Các đường thẳng AX và BY cắt nhau tại Q.

Chứng minh PQ song song với AB.