Andy và Betsy đều sống ở Mathville. Andy rời Mathville trên chiếc xe đạp của mình với vận tốc $1{:}30,$ hướng về phía bắc với vận tốc ổn định $8$ dặm một giờ. Betsy khởi hành trên chiếc xe đạp của mình từ cùng một điểm với vận tốc $2{:}30,$ di chuyển về phía đông với tốc độ ổn định $12$ dặm một giờ. Vào thời điểm nào họ sẽ cách điểm xuất phát chung một khoảng cách bằng nhau?
Một hộp chứa $10$ pound hỗn hợp hạt có $50$ phần trăm đậu phộng, $20$ phần trăm hạt điều và $30$ phần trăm hạnh nhân. Hỗn hợp hạt thứ hai chứa $20$ phần trăm đậu phộng, $40$ phần trăm hạt điều và $40$ phần trăm hạnh nhân được thêm vào hộp tạo ra một hỗn hợp hạt mới có $40$ phần trăm đậu phộng. Hỏi bây giờ trong hộp có bao nhiêu pound hạt điều?
Một nhóm học sinh sẽ thi đấu với một nhóm giáo viên trong một cuộc thi đố vui. Tổng số học sinh và giáo viên là $15.$ Ash, anh họ của một trong những học sinh, muốn tham gia cuộc thi. Nếu Ash chơi với học sinh, độ tuổi trung bình của đội đó sẽ tăng từ $12$ lên $14.$ Nếu Ash chơi với giáo viên, độ tuổi trung bình của đội đó sẽ giảm từ $55$ xuống $52.$ Ash bao nhiêu tuổi?
Trong hình bên dưới, hình vuông bên ngoài chứa vô số hình vuông, mỗi hình vuông có cùng tâm và các cạnh song song với hình vuông bên ngoài. Tỷ lệ giữa chiều dài cạnh của hình vuông và chiều dài cạnh của hình vuông bên trong tiếp theo là $k,$ trong đó $0 \lt k \lt 1.$ Khoảng cách giữa các hình vuông được tô màu xen kẽ, như thể hiện trong hình (không nhất thiết phải được vẽ theo tỷ lệ).
diện tích của phần được tô bóng của hình là $64\%$ của diện tích của hình vuông ban đầu. $k?$ là gì
Sáu chiếc ghế được xếp xung quanh một chiếc bàn tròn. Hai học sinh và hai giáo viên chọn ngẫu nhiên bốn chiếc ghế để ngồi. xác suất mà hai học sinh sẽ ngồi ở hai ghế cạnh nhau và hai giáo viên cũng sẽ ngồi ở hai ghế cạnh nhau là bao nhiêu?
Trong một thế giới xa lạ nhất định, tốc độ chạy tối đa $v$ của một sinh vật phụ thuộc vào số ngón chân $n$ và số mắt $m.$ Mối quan hệ có thể được biểu thị bằng $v = k n^a m^b$ cm mỗi giờ, trong đó $k,$ $a,$ và $b$ là số nguyên hằng số. Trong một quần thể mà tất cả các sinh vật có $5$ ngón chân, $\log v = 4 + 2\log m;$ và trong một quần thể mà tất cả các sinh vật có mắt $25$, $\log v = 4 + 4\log n,$ trong đó logarit là cơ số $10.$ $k + a + b?$ là gì
Lầu năm góc $ABCDE$ nội tiếp trong một đường tròn và $\angle BEC = \angle CED = 30^\circ.$ Cho $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $F,$ và giả sử rằng $AB = 9$ và $AD = 24.$ $BF?$ là gì
Giả sử $w$ là số phức $2 + i,$ trong đó $i = \sqrt{-1}.$ Số thực nào $r$ có tính chất là $r,$ $w,$ và $w^2$ là ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức?
Trong hình bên dưới, cung lớn $AD$ và cung nhỏ $BC$ có cùng tâm, $O.$ Ngoài ra, $A$ nằm giữa $O$ và $B,$ và $D$ nằm giữa $O$ và $C.$ Cung chính $AD,$ cung nhỏ $BC,$ và mỗi đoạn trong số hai đoạn $AB$ và $CD$ có độ dài $2\pi.$
Trực tâm của một tam giác là giao điểm đồng thời của ba đường cao (có thể kéo dài). Tổng tọa độ trực tâm của tam giác có các đỉnh là $A(2, 31),$ $B(8, 27),$ và $C(18, 27)?$ là bao nhiêu?
Hài hòa trung bình cộng của một tập hợp số là nghịch đảo của số học trung bình cộng của các nghịch đảo của các số trong tập hợp. Ví dụ: điều hòa trung bình cộng của $4,$ $4,$ và $5$ là $$
\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.
$$ Điều hòa trung bình cộng của tất cả các nghiệm thực của đa thức bậc $4050$th $$
\begin{aligned} &\small \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ &= (x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ &\quad (2025x^2 - 4x - 3)? \end{aligned}
$$ là gì
Đặt $C = \{1, 2, 3, \ldots, 13\}.$ Đặt $N$ là số nguyên lớn nhất sao cho tồn tại một tập hợp con của $C$ với các phần tử $N$ không chứa năm số nguyên liên tiếp. Giả sử các số nguyên $N$ được chọn ngẫu nhiên từ $C$ mà không thay thế. xác suất mà các phần tử được chọn không bao gồm năm số nguyên liên tiếp là gì?
Các điểm $F,$ $G,$ và $H$ thẳng hàng với $G$ giữa $F$ và $H.$ Hình elip có tiêu điểm tại $G$ và $H$ tiếp tuyến nội bộ với hình elip có tiêu điểm tại $F$ và $G,$ như hiển thị bên dưới.
Hai hình elip có cùng độ lệch tâm $e,$ và tỷ lệ diện tích của chúng là $2025.$ (Hãy nhớ rằng độ lệch tâm của hình elip là $e = \dfrac{c}{a},$ trong đó $c$ là khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm và $2a$ là độ dài của trục chính.) là gì. $e?$
Một tập hợp số được gọi là không có tổng nếu bất cứ khi nào $x$ và $y$ là các phần tử (không nhất thiết phải khác biệt) của tập hợp, $x + y$ không phải là một phần tử của tập hợp. Ví dụ: $\{1, 4, 6\}$ và tập trống không có tổng, nhưng $\{2, 4, 5\}$ thì không. Số phần tử lớn nhất có thể có trong tập con không có tổng của $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}?$ là bao nhiêu?
Tam giác $\triangle ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 80,$ $BC = 45,$ và $AC = 75.$ Đường phân giác của $\angle B$ và đường cao tới cạnh $AB$ cắt nhau tại điểm $P.$ $BP?$
Đa thức $(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10$ có ba nghiệm trong mặt phẳng phức, trong đó $i = \sqrt{-1}.$ diện tích của tam giác được hình thành bởi các nghiệm này là bao nhiêu?
Đáy của hình ngũ giác hiển thị bên dưới là hình chữ nhật $13 \times 8$ và các mặt bên của nó là hai tam giác cân có đáy dài $8$ và bằng nhau cạnh dài $13,$ và hai hình thang cân có đáy dài $7$ và $13$ và các cạnh không song song có chiều dài $13.$
