AMC 12B năm 2025

Hướng dẫn trên túi hạt cà phê $350$-gram nói rằng việc pha một cốc cà phê rót lớn đúng cách cần có $20$ gam hạt cà phê. Có thể pha được bao nhiêu cốc cà phê lớn được pha đúng cách từ những hạt cà phê trong túi đó?

Jerry đã viết ra chữ số hàng đơn vị của mỗi $2025$ bình phương dương đầu tiên: $1,$ $4,$ $9,$ $6,$ $5,$ $6,$ $\ldots.$ Tổng của tất cả những con số Jerry đã viết ra?

Giá trị của $i(i-1)(i-2)(i-3),$ trong đó $i = \sqrt{-1}?$ là bao nhiêu

Giá trị của số có hai chữ số $\underline{a}\,\underline{b}$ trong cơ số bảy bằng giá trị của số có hai chữ số $\underline{b}\,\underline{a}$ trong cơ số chín. $a + b?$ là gì

Các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình $57x + 22y = 400.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của $x + y?$ là bao nhiêu

Emmy nói với Max: “Hôm nay tôi đã đặt mua $36$ áo nỉ cho câu lạc bộ toán học.” Max hỏi: “Mỗi chiếc áo sơ mi giá bao nhiêu?” Emmy trả lời: "Tôi sẽ cho bạn một gợi ý. Tổng chi phí là $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ trong đó $A$ và $B$ là các chữ số và $A \neq 0.$" Sau khi tạm dừng, Max nói: "Đó là một mức giá tốt." $A + B?$ là gì

Giá trị của là gì

$$
\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?
$$

Có các số nguyên $a$ và $b$ sao cho đa thức $x^3 - 5x^2 + ax + b$ có $4 + \sqrt{5}$ làm gốc. $a + b?$ là gì

chữ số hàng chục của $6^{6^6}?$ là gì

Độ cao đến cạnh huyền của $30\text{-}60\text{-}90$ tam giác vuông được chia thành hai đoạn có độ dài $x \lt y$ bởi trung vị cho cạnh ngắn nhất của tam giác. Tỷ lệ $\dfrac{x}{x+y}?$ là bao nhiêu

Chín vận động viên, không có hai người nào có cùng chiều cao, thử sức cho đội bóng rổ. Lần lượt, họ rút ngẫu nhiên một dây đeo cổ tay, không thay thế, từ một túi chứa $3$ dây đeo màu xanh lam, $3$ dây đeo màu đỏ và $3$ dây đeo màu xanh lá cây. Chúng được chia thành nhóm màu xanh lam, nhóm màu đỏ và nhóm màu xanh lá cây. Thành viên cao nhất của mỗi nhóm được mệnh danh là đội trưởng. xác suất mà đội trưởng nhóm là ba vận động viên cao nhất là gì?

Cần gạt nước kính chắn gió ở phía người lái của một chiếc xe buýt lớn được mô tả bên dưới.



Cánh tay $\overline{AB}$ xoay qua lại quanh điểm $A,$ quét ra một vòng cung $60^\circ,$ đối xứng theo đường thẳng đứng xuyên qua $A.$ Lưỡi gạt nước $\overline{CD}$ được gắn vào $B$ tại điểm giữa của nó và giữ thẳng đứng khi cánh tay di chuyển. Cánh tay dài $3$ feet và lưỡi gạt nước cao $3.5$ feet. diện tích của kính chắn gió được làm sạch bằng cần gạt nước, tính bằng feet vuông, chính xác đến phần trăm gần nhất là bao nhiêu? (Giả sử kính chắn gió là một mặt phẳng thẳng đứng.)

Một vòng tròn đã được chia thành $6$ các phần có kích thước khác nhau. Sau đó, $2$ của các khu vực được sơn màu đỏ, $2$ được sơn màu xanh lá cây và $2$ được sơn màu xanh lam để không có hai khu vực lân cận nào được sơn cùng một màu. Một màu như vậy được hiển thị dưới đây.



Có thể có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Hãy xem xét một chuỗi giảm dần gồm $n$ số nguyên dương $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Trung bình (số học trung bình cộng) của số hạng $3$ đầu tiên trong dãy là $2025.$

• Đối với tất cả $4 \le k \le n,$ trung bình của các số hạng $k$ đầu tiên trong dãy là $1$ nhỏ hơn trung bình của các số hạng $k-1$ đầu tiên trong dãy.

Giá trị lớn nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu?

Một thùng chứa có đáy vuông $1 \times 1$, đỉnh vuông mở $3 \times 3$ và bốn cạnh hình thang bằng nhau, như được hiển thị. Bắt đầu khi thùng chứa rỗng, một vòi chảy nước với tốc độ không đổi sẽ mất $35$ phút để đổ đầy thùng chứa đến đường giữa của hình thang.



Sẽ mất bao nhiêu phút nữa để đổ đầy số dư của thùng chứa?

Đồng hồ kim bắt đầu lúc nửa đêm và chạy trong $2025$ phút trước khi dừng. Tiếp tuyến của góc nhọn giữa kim giờ và kim phút khi đồng hồ dừng lại là bao nhiêu?

Mỗi hình vuông $9$ trong lưới $3 \times 3$ phải được tô màu đỏ, xanh lam hoặc vàng theo cách sao cho mỗi hình vuông màu đỏ có chung một cạnh với ít nhất một hình vuông màu xanh lam, mỗi hình vuông màu xanh lam có chung một cạnh với ít nhất một hình vuông màu vàng và mỗi hình vuông màu vàng có chung một cạnh với ít nhất một hình vuông màu đỏ. Các màu có thể thu được từ nhau bằng cách quay và/hoặc phản xạ được coi là giống nhau. Có thể có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Awnik liên tục chơi một trò chơi có xác suất chiến thắng là $\dfrac{1}{3}.$ Kết quả của các trò chơi là độc lập. Giá trị kỳ vọng của số ván đấu mà anh ta sẽ chơi cho đến khi anh ta vừa thắng vừa thua ít nhất một lần là bao nhiêu?

Một lưới hình chữ nhật gồm các hình vuông có $141$ hàng và $91$ cột. Mỗi ô vuông có chỗ cho hai số. Horace và Vera mỗi người điền vào lưới bằng cách đặt các số từ $1$ đến $141 \times 91 = 12{,}831$ vào các ô vuông. Horace điền vào lưới theo chiều ngang: anh ấy đặt $1$ đến $91$ theo thứ tự từ trái sang phải vào hàng $1,$ đặt $92$ đến $182$ vào hàng $2$ theo thứ tự từ trái sang phải và tiếp tục tương tự đến hàng $141.$ Vera lấp đầy lưới theo chiều dọc: cô đặt $1$ đến $141$ theo thứ tự từ trên xuống dưới vào cột $1,$ sau đó $142$ đến $282$ vào cột $2$ theo thứ tự từ trên xuống dưới và tiếp tục tương tự như vậy qua cột $91.$ Có bao nhiêu ô vuông có được hai bản sao của cùng một số?

Một con ếch nhảy dọc theo trục số theo quy tắc sau.

• Nó bắt đầu ở $0.$

• Nếu nó ở $0,$ thì nó di chuyển đến $1$ với xác suất $\dfrac{1}{2}$ và nó biến mất cùng với xác suất $\dfrac{1}{2}.$

• Đối với $n = 1,$ $2,$ hoặc $3,$ nếu nó ở $n,$ thì nó di chuyển đến $n+1$ với xác suất $\dfrac{1}{4},$ nó di chuyển đến $n-1$ với xác suất $\dfrac{1}{4},$ và nó biến mất cùng với xác suất $\dfrac{1}{2}.$

xác suất mà con ếch đạt tới $4?$ là bao nhiêu