Ngân hàng câu hỏi AMC12 1973

Dây cung là đường trung trực của bán kính có độ dài $12$ trong một đường tròn có độ dài

Một nghìn khối đơn vị được gắn chặt với nhau để tạo thành một khối lớn có chiều dài cạnh $10$ đơn vị; cái này được sơn và sau đó được tách thành các hình khối ban đầu. Số khối đơn vị này được sơn một mặt ít nhất là

Giả thuyết Goldbach mạnh hơn phát biểu rằng bất kỳ số nguyên chẵn nào lớn hơn $7$ đều có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau. Đối với cách biểu diễn số chẵn $126,$ như vậy, chênh lệch lớn nhất có thể có giữa hai số nguyên tố là

*Lưu ý:* Giả thuyết Goldbach thông thường phát biểu rằng bất kỳ số nguyên chẵn nào lớn hơn $3$ đều có thể biểu thị dưới dạng tổng của hai số nguyên tố. Cả phỏng đoán này lẫn phiên bản mạnh hơn đều chưa được giải quyết.

Hai hình tam giác bằng nhau $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ được đặt sao cho chúng trùng nhau một phần và các cạnh huyền của chúng trùng nhau. Nếu cạnh huyền của mỗi tam giác là $12,$ thì diện tích chung cho cả hai tam giác là

Trong năm câu lệnh sau, $\mathrm{I}$ đến $\mathrm{V},$ về phép tính trung bình nhị phân (số học trung bình cộng),

$\mathrm{I}.$ Tính trung bình có tính kết hợp

$\mathrm{II}.$ Tính trung bình có tính giao hoán

$\mathrm{III}.$ Phân phối trung bình trên phép cộng

$\mathrm{IV}.$ Phép cộng phân phối trên mức trung bình

$\mathrm{V}.$ Tính trung bình có yếu tố nhận dạng

những điều luôn đúng là

Nếu $554$ là biểu diễn cơ số $b$ của bình phương của số có biểu diễn cơ số $b$ là $24,$ thì $b,$ khi viết ở dạng cơ số $10,$ bằng

Tổng của tất cả các số nguyên giữa $50$ và $350$ kết thúc bằng $1$ là

Nếu cần $1$ pint sơn để sơn một bức tượng có chiều cao $6$ ft, thì số lượng pint cần để sơn (với cùng độ dày) $540$ tượng đồng dạng so với bản gốc nhưng chỉ cao $1$ ft.

Trong $\triangle ABC$ với góc vuông tại $C,$ độ cao $CH$ và trung vị $CM$ chia ba góc vuông. Nếu diện tích của $\triangle CHM$ là $K,$ thì diện tích của $\triangle ABC$ là

Nếu $n$ là số thực thì hệ đồng thời $$
\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}
$$ không có nghiệm khi và chỉ khi $n$ bằng

Một hình tròn có hình vuông ngoại tiếp và nội tiếp có tâm tại gốc $O$ của hệ tọa độ hình chữ nhật có trục dương $x$- và $y$ $OX$ và $OY$ được hiển thị trong mỗi hình $\mathrm{I}$ đến $\mathrm{IV}$ bên dưới.



Các bất đẳng thức $$
\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}
$$ được biểu diễn về mặt hình học bằng hình được đánh số

*Biểu diễn hình học:* Bất đẳng thức $f(x,y)\le g(x,y)$ cho tất cả $x,$ $y$ được biểu thị bằng một hình hiển thị, đối với một số thực điển hình $a,$ ngăn chặn $$
\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}
$$

Độ tuổi trung bình (số học trung bình cộng) của một nhóm gồm các bác sĩ và luật sư là $40.$ Nếu tuổi trung bình của các bác sĩ $35$ và các luật sư $50$ thì tỷ số giữa số bác sĩ và số luật sư là

Phân số $$
\frac{2(\sqrt2+\sqrt6)}{3\sqrt{2+\sqrt3}}
$$ bằng

Mỗi van $A,$ $B,$ và $C,$ khi mở, sẽ xả nước vào bể với tốc độ không đổi. Khi cả ba van mở, bể sẽ đầy trong $1$ giờ, chỉ với các van $A$ và $C$ mở thì mất $1.5$ giờ, và chỉ với các van $B$ và $C$ mở thì mất $2$ giờ. Số giờ cần thiết khi chỉ mở các van $A$ và $B$ là

Một hình quạt có góc nhọn ở tâm $\theta$ được cắt từ một hình tròn có bán kính $6.$ Bán kính của hình tròn ngoại tiếp hình tròn là

Nếu tổng tất cả các góc ngoại trừ một góc của đa giác lồi là $2190^\circ,$ thì số cạnh của đa giác đó phải là

Nếu $\theta$ là góc nhọn và $$
\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}},
$$ thì $\tan\theta$ bằng

Nếu $p\ge5$ là số nguyên tố thì $24$ chia $p^2-1$ mà không có số dư

Xác định $n_a!$ cho $n$ dương và $a$ là $$
\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}
$$ trong đó $k$ là số nguyên lớn nhất mà $n\gt ka.$ Khi đó thương $$
\frac{72_8!}{18_2!}
$$ bằng

Một chàng cao bồi cách $4$ dặm về phía nam của một con suối chảy về phía đông. Anh ta cũng cách $8$ dặm về phía tây và $7$ dặm về phía bắc cabin của mình. Anh ta muốn cho ngựa uống nước ở suối và trở về nhà. Khoảng cách ngắn nhất (tính bằng dặm) anh ta có thể đi và thực hiện được điều này là