AMC 12B năm 2019

Alicia có hai thùng chứa. Cái đầu tiên là $\dfrac{5}{6}$ chứa đầy nước và cái thứ hai trống rỗng. Cô đổ hết nước từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai, lúc này thùng thứ hai $\dfrac{3}{4}$ đầy nước. Tỷ lệ của thể tích của vùng chứa thứ nhất so với thể tích của vùng chứa thứ hai là bao nhiêu?

Hãy xem xét câu lệnh: “Nếu $n$ không phải là số nguyên tố thì $n-2$ là số nguyên tố”. Giá trị nào sau đây của $n$ là phản ví dụ cho tuyên bố này?

Một trong những phép biến đổi cứng nhắc (đẳng cấp) nào sau đây ánh xạ đoạn thẳng $\overline{AB}$ lên đoạn thẳng $\overline{A'B'}$ sao cho ảnh của $A(-2,1)$ là $A'(2,-1)$ và ảnh của $B(-1,4)$ là $B'(1,-4)?$

Một số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!.$ Tổng các chữ số của $n?$ là bao nhiêu

Mỗi viên kẹo trong cửa hàng có giá bằng số xu. Casper có đủ tiền để mua $12$ miếng kẹo đỏ, $14$ miếng kẹo xanh, $15$ miếng kẹo xanh hoặc $n$ miếng kẹo tím. Một miếng kẹo màu tím có giá $20$ xu. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu

Trong một mặt phẳng nhất định, các điểm $A$ và $B$ cách nhau $10$ đơn vị. Có bao nhiêu điểm $C$ trong mặt phẳng sao cho chu vi của $\triangle ABC$ là $50$ đơn vị và diện tích của $\triangle ABC$ là $100$ đơn vị vuông?

Tổng của tất cả các số thực $x$ mà trung vị của các số $4,$ $6,$ $8,$ $17,$ và $x$ bằng trung bình cộng của năm số đó là bao nhiêu?

Đặt $f(x)=x^2(1-x)^2.$ Giá trị của tổng là bao nhiêu

$$
\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right)? \end{gathered}
$$

Với bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ có thể tạo thành một tam giác dương diện tích có độ dài các cạnh $\log_2 x,$ $\log_4 x,$ và $3?$

Hình bên dưới là bản đồ hiển thị $12$ thành phố và $17$ đường nối các cặp thành phố nhất định. Paula muốn đi dọc theo chính xác $13$ trong số những con đường đó, bắt đầu từ thành phố $A$ và kết thúc tại thành phố $L,$ mà không đi dọc theo bất kỳ đoạn đường nào nhiều hơn một lần. (Paula được phép đến thăm một thành phố nhiều lần.) Paula có thể đi bao nhiêu con đường khác nhau?

Có bao nhiêu cặp cạnh không có thứ tự của một hình lập phương xác định được một mặt phẳng?

tam giác vuông $ACD$ với góc vuông tại $C$ được dựng hướng ra ngoài trên cạnh huyền $\overline{AC}$ của tam giác cân tam giác vuông $ABC$ với chiều dài cạnh $1,$ như hình vẽ, sao cho hai tam giác có chu vi bằng nhau. $\sin(2\angle BAD)?$ là gì

Một quả bóng màu đỏ và một quả bóng màu xanh lá cây được ném ngẫu nhiên và độc lập vào các thùng được đánh số bằng các số nguyên dương sao cho với mỗi quả bóng, xác suất được ném vào thùng $k$ là $2^{-k}$ cho $k=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ Cái gì xác suất quả bóng đỏ được ném vào thùng có số cao hơn quả bóng xanh có phải không?

Đặt $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $100{,}000.$ Có bao nhiêu số là tích của hai phần tử phân biệt của $S?$

Như minh họa trong hình, đoạn thẳng $\overline{AD}$ được chia thành ba điểm $B$ và $C$ sao cho $AB=BC=CD=2.$ Ba hình bán nguyệt có bán kính $1,$ $AEB,$ $BFC,$ và $CGD,$ có đường kính trên $\overline{AD},$ và tiếp tuyến với đường thẳng $EG$ tại $E,$ $F,$ và $G,$ tương ứng. Một đường tròn bán kính $2$ có tâm trên $F.$ diện tích của vùng bên trong đường tròn nhưng nằm ngoài ba hình bán nguyệt, được tô bóng trong hình, có thể được biểu thị dưới dạng

$$
\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,
$$

trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương và $a$ và $b$ là các số nguyên tố cùng nhau. $a+b+c+d?$ là gì

Có các miếng hoa súng xếp thành hàng được đánh số từ $0$ đến $11,$ theo thứ tự đó. Có những kẻ săn mồi trên tấm lót hoa huệ $3$ và $6,$ và một miếng thức ăn trên tấm lót hoa huệ $10.$ Con ếch Fiona bắt đầu trên tấm lót $0,$ và từ bất kỳ tấm lót hoa huệ nào, có cơ hội $\dfrac12$ để nhảy sang tấm lót tiếp theo và cơ hội ngang bằng để nhảy sang tấm lót $2$. xác suất mà Fiona chạm tới bệ $10$ mà không hạ cánh xuống bệ $3$ hoặc bệ $6?$ là gì

Có bao nhiêu số phức khác 0 $z$ có tính chất $0,$ $z,$ và $z^3,$ khi được biểu thị bằng các điểm trong mặt phẳng phức, là ba đỉnh phân biệt của một tam giác đều?

Hình chóp vuông $ABCDE$ có đáy $ABCD,$ có kích thước một cạnh là $3$ cm và độ cao $\overline{AE}$ vuông góc với đáy, có kích thước $6$ cm. Điểm $P$ nằm trên $\overline{BE},$ một phần ba quãng đường từ $B$ đến $E;$ điểm $Q$ nằm trên $\overline{DE},$ một phần ba quãng đường từ $D$ đến $E;$ và điểm $R$ nằm trên $\overline{CE},$ 2/3 quãng đường từ $C$ đến $E.$ diện tích, tính bằng centimet vuông, của $\triangle PQR?$ là bao nhiêu

Raashan, Sylvia và Ted chơi trò chơi sau. Mỗi lần bắt đầu bằng $\$1.$ Chuông reo mỗi $15$ giây, tại thời điểm đó, mỗi người chơi hiện có tiền đồng thời chọn một trong hai người chơi còn lại một cách độc lập và ngẫu nhiên và đưa $\$1$ cho người chơi đó. xác suất mà sau khi chuông rung $2019$ lần, mỗi người chơi sẽ có $\$1?$ (Ví dụ: Raashan và Ted mỗi người có thể quyết định đưa $\$1$ cho Sylvia và Sylvia có thể quyết định đưa đô la của mình cho Ted, lúc đó Raashan sẽ có $\$0,$ Sylvia sẽ có $\$2,$ và Ted sẽ có $\$1,$ và đó là lúc kết thúc vòng chơi đầu tiên. Ở vòng thứ hai, Raashan không có tiền để đưa, nhưng Sylvia và Ted có thể chọn nhau để đưa $\$1$ của họ và số tiền nắm giữ sẽ giống nhau vào cuối vòng thứ hai.)

Các điểm $A(6,13)$ và $B(12,11)$ nằm trên đường tròn $\omega$ trong mặt phẳng. Giả sử rằng các đường tiếp tuyến của $\omega$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại một điểm trên trục $x$. diện tích của $\omega?$ là gì