AMC 12B năm 2022

Xác định $x \diamond y$ là $|x - y|$ cho tất cả các số thực $x$ và $y.$ Giá trị của

$$
(1 \diamond (2 \diamond 3)) - ((1 \diamond 2) \diamond 3)?
$$

Trong hình thoi $ABCD,$ điểm $P$ nằm trên đoạn $\overline{AD}$ sao cho $\overline{BP} \perp \overline{AD},$ $AP = 3,$ và $PD = 2.$ diện tích của $ABCD?$ (Lưu ý: hình không được vẽ theo tỷ lệ.)

Có bao nhiêu trong số mười số đầu tiên của dãy $121,$ $11211,$ $1112111,$ $\ldots$ là số nguyên tố?

Với bao nhiêu giá trị của hằng số $k$ thì đa thức $x^2 + kx + 36$ sẽ có hai nghiệm số nguyên phân biệt?

Điểm $(-1, -2)$ được quay $270^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ về điểm $(3, 1).$ Tọa độ của vị trí mới của nó là gì?

Hãy xem xét từng bộ phần tử $100$ sau đây của $10$:

$$
\{1,2,3,\ldots,10\},
$$ $$
\{11,12,13,\ldots,20\},
$$ $$
\{21,22,23,\ldots,30\},
$$ $$
\vdots
$$ $$
\{991,992,993,\ldots,1000\}.
$$

Có bao nhiêu tập hợp chứa đúng hai bội số của $7?$

Camila viết ra năm số nguyên dương. Chế độ duy nhất của các số nguyên này là $2$ lớn hơn trung vị và trung vị là $2$ lớn hơn số học trung bình cộng của chúng. Giá trị nhỏ nhất có thể có của chế độ này là bao nhiêu?

Đồ thị của $y^4 + 1 = x^4 + 2y^2$ trong mặt phẳng tọa độ là gì?

Dãy $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\cdots$ là một cấp số cộng số nguyên dương tăng dần sao cho $$
2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.
$$ Giá trị tối thiểu có thể có của $a_2?$ là bao nhiêu?

Hình lục giác đều $ABCDEF$ có độ dài cạnh $2.$ Đặt $G$ là trung điểm của $\overline{AB},$ và đặt $H$ là trung điểm của $\overline{DE}.$ chu vi của $GCHF?$ là bao nhiêu

Đặt $$
\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}
$$ trong đó $i = \sqrt{-1}.$ $f(2022)?$ là gì

Kayla tung bốn viên xúc xắc có mặt $6$ công bằng. xác suất mà ít nhất một trong những số Kayla tung ra lớn hơn $4$ và ít nhất hai trong số những số cô tung ra lớn hơn $2?$

Sơ đồ bên dưới thể hiện một hình chữ nhật có độ dài các cạnh $4$ và $8$ và một hình vuông có độ dài cạnh $5.$ Ba đỉnh của hình vuông nằm trên ba cạnh khác nhau của hình chữ nhật, như được hiển thị. diện tích của vùng bên trong cả hình vuông và hình chữ nhật là gì?

Đồ thị của $y = x^2 + 2x - 15$ cắt trục $x$ tại các điểm $A$ và $C$ và trục $y$ tại điểm $B.$ $\tan(\angle ABC)?$ là gì

Một trong các số sau không phải là chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn $10.$ Đó là số nào?

Giả sử $x$ và $y$ là các số thực dương sao cho

$$
x^y = 2^{64}
$$ và $$
(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.
$$

Giá trị lớn nhất có thể có của $\log_2 y?$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu mảng $4 \times 4$ có các phần tử là $0$ và $1$ sao cho tổng hàng (tổng của các phần tử trong mỗi hàng) là $1,$ $2,$ $3,$ và $4,$ theo thứ tự nào đó và tổng cột (tổng các mục trong mỗi cột) cũng là $1,$ $2,$ $3,$ và $4,$ theo thứ tự nào đó? Ví dụ: mảng $$
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$ thỏa mãn điều kiện.

Mỗi hình vuông trong lưới $5 \times 5$ được lấp đầy hoặc trống và có tối đa tám hình vuông lân cận, trong đó các hình vuông lân cận có chung một cạnh hoặc một góc. Lưới được biến đổi theo các quy tắc sau:

Bất kỳ hình vuông nào được lấp đầy với hai hoặc ba ô lân cận được lấp đầy vẫn được lấp đầy. Bất kỳ hình vuông trống nào có chính xác ba ô lân cận được lấp đầy sẽ trở thành một hình vuông được lấp đầy. Tất cả các ô vuông khác vẫn trống hoặc trở nên trống.

Một phép biến đổi mẫu được thể hiện trong hình dưới đây.



Giả sử lưới $5 \times 5$ có đường viền gồm các ô vuông trống bao quanh lưới con $3 \times 3$. Có bao nhiêu cấu hình ban đầu sẽ dẫn đến một lưới được chuyển đổi bao gồm một hình vuông được tô đầy ở giữa sau một lần chuyển đổi? (Xoay và phản xạ của cùng một cấu hình được coi là khác nhau.)

Trong $\triangle ABC$ đường trung tuyến $\overline{AD}$ và $\overline{BE}$ cắt nhau tại $G$ và $\triangle AGE$ là đều. Khi đó $\cos(C)$ có thể được viết là $\dfrac{m\sqrt p}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $p$ là số nguyên dương không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $m + n + p?$ là gì

Giả sử $P(x)$ là một đa thức có hệ số hữu tỷ sao cho khi $P(x)$ được chia cho đa thức $x^2 + x + 1,$ thì số dư là $x + 2,$ và khi $P(x)$ được chia cho đa thức $x^2 + 1,$ thì số dư là $2x + 1.$ Có một đa thức duy nhất bậc nhỏ nhất với hai thuộc tính này. Tổng bình phương các hệ số của đa thức đó là bao nhiêu?