AMC 12A năm 2024

Giá trị của $9901\cdot101-99\cdot10101?$ là bao nhiêu

Một mô hình được sử dụng để ước tính thời gian cần thiết để đi bộ lên đỉnh núi trên một con đường mòn có dạng $T=aL+bG,$ trong đó $a$ và $b$ là các hằng số, $T$ là thời gian tính bằng phút, $L$ là chiều dài của con đường tính bằng dặm và $G$ là độ cao đạt được ở chân. Mô hình ước tính rằng sẽ mất $69$ phút để đi bộ lên đỉnh nếu đường mòn dài $1.5$ dặm và cao dần $800$ feet, cũng như nếu đường mòn dài $1.2$ dặm và cao dần $1100$ feet.

Mô hình ước tính sẽ mất bao nhiêu phút để leo lên đỉnh nếu đường mòn dài $4.2$ dặm và cao dần $4000$ feet?

Số $2024$ được viết dưới dạng tổng của các số có hai chữ số không nhất thiết phải phân biệt. Số ít nhất các số có hai chữ số cần thiết để viết tổng này là bao nhiêu?

Giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho $n!$ là bội số của $2024?$

Một tập dữ liệu chứa các số $20$, một số trong số đó là $6,$ có trung bình cộng $45.$ Khi tất cả các $6$ bị xóa, tập dữ liệu có trung bình cộng $66.$ Có bao nhiêu $6$ trong bản gốc tập dữ liệu?

Tích của ba số nguyên là $60.$ Tổng dương nhỏ nhất có thể có của ba số nguyên là bao nhiêu?

Trong $\triangle ABC,$ $\angle ABC=90^\circ$ và $BA=BC=\sqrt2.$ Điểm $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_{2024}$ nằm trên cạnh huyền $AC$ sao cho $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C.$

Độ dài của tổng vectơ $$
\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}
$$ là bao nhiêu

Có bao nhiêu góc $\theta$ với $0\le\theta\le2\pi$ thỏa mãn $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0?$

Đặt $M$ là số nguyên lớn nhất sao cho cả $M+1213$ và $M+3773$ đều là số chính phương. chữ số hàng đơn vị của $M?$ là gì

Đặt $\alpha$ là số đo radian của góc nhỏ nhất trong $3\text{-}4\text{-}5$ tam giác vuông. Đặt $\beta$ là số đo radian của góc nhỏ nhất trong $7\text{-}24\text{-}25$ tam giác vuông. Xét về $\alpha,$ $\beta?$ là gì

Có chính xác $K$ số nguyên dương $b$ với $5\le b\le2024$ sao cho số nguyên cơ sở-$b$ $2024_b$ là chia hết cho $16$ (trong đó $16$ nằm trong cơ số mười). Tổng các chữ số của $K?$ là bao nhiêu

Ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân là các số nguyên $a,$ $720,$ và $b,$ trong đó $a\lt720\lt b.$ Tổng các chữ số của giá trị nhỏ nhất có thể có của $b?$ là bao nhiêu

Đồ thị của $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ có trục đối xứng. Hình ảnh phản chiếu của điểm $\left(-1,\tfrac12\right)$ trên trục này là gì?

Các số, theo thứ tự, của mỗi hàng và các số, theo thứ tự, của mỗi cột của mảng số nguyên $5\times5$ tạo thành một cấp số cộng có độ dài $5.$ Các số ở vị trí $(5,5),$ $(2,4),$ $(4,3),$ và $(3,1)$ là $0,$ $48,$ $16,$ và $12,$ tương ứng. Số nào ở vị trí $(1,2)?$

$$
\begin{bmatrix} \cdot &? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}
$$

Các nghiệm của $x^3+2x^2-x+3$ là $p$, $q$ và $r$. Giá trị của $$
(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?
$$ là bao nhiêu

Một bộ mã thông báo $12$ — $3$ đỏ, $2$ trắng, $1$ xanh lam và $6$ đen — sẽ được phân phối ngẫu nhiên cho $3$ người chơi trò chơi, $4$ mã thông báo cho mỗi người chơi. xác suất mà một số người chơi nhận được tất cả các mã thông báo màu đỏ, một người khác nhận được tất cả các mã thông báo màu trắng và người chơi còn lại nhận được mã thông báo màu xanh lam có thể được viết là $\dfrac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m+n?$ là gì

Các số nguyên $a,$ $b,$ và $c$ thỏa mãn $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ và $ca+b=60.$ $ab+bc+ca?$ là gì

Trên một lá bài hình chữ nhật có cạnh dài $1$ và $2+\sqrt3,$, một lá bài giống hệt nhau được đặt sao cho hai đường chéo của chúng thẳng hàng, như minh họa ($AC,$ trong trường hợp này).



Tiếp tục quá trình, thêm thẻ thứ ba vào thẻ thứ hai, v.v., xếp các đường chéo liên tiếp sau khi xoay theo chiều kim đồng hồ. Tổng cộng, phải sử dụng bao nhiêu thẻ cho đến khi một đỉnh của thẻ mới chạm chính xác vào đỉnh có nhãn $B$ trong hình?

Tứ giác nội tiếp $ABCD$ có độ dài $BC=CD=3$ và $DA=5$ với $\angle CDA=120^\circ.$ Độ dài đường chéo ngắn của $ABCD?$ là bao nhiêu

Các điểm $P$ và $Q$ được chọn thống nhất và độc lập một cách ngẫu nhiên trên các mặt $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$ tương ứng của tam giác đều $\triangle ABC.$ Khoảng nào sau đây chứa xác suất mà diện tích của $\triangle APQ$ nhỏ hơn một nửa diện tích của $\triangle ABC?$