AMC 12B năm 2023

Bà Jones đang rót nước cam vào bốn chiếc cốc giống hệt nhau cho bốn đứa con trai của mình. Cô đổ đầy ba ly đầu tiên nhưng hết nước khi ly thứ tư chỉ đầy $\tfrac13$. Bà Jones phải rót bao nhiêu phần ly từ mỗi ly trong số ba ly đầu tiên sang ly thứ tư để cả bốn ly đều có cùng một lượng nước ép?

Carlos đến cửa hàng thể thao để mua giày chạy bộ. Giày chạy bộ đang được giảm giá với giá giảm $20\%$ cho mỗi đôi giày. Carlos cũng biết rằng anh ấy phải trả $7.5\%$ thuế bán hàng cho mức giá chiết khấu. Anh ấy có $43$ đô la. Giá ban đầu (trước khi giảm giá) của đôi giày đắt nhất mà anh ấy có thể mua được là bao nhiêu?

A $3$-$4$-$5$ tam giác vuông được nội tiếp trong vòng tròn $A,$ và $5$-$12$-$13$ tam giác vuông được nội tiếp trong vòng tròn $B.$ Tỷ lệ của diện tích của vòng tròn $A$ so với diện tích của vòng tròn $B?$ là bao nhiêu

Cây cọ vẽ của Jackson tạo ra một dải hẹp có chiều rộng $6.5$ milimét. Jackson có đủ sơn để tạo thành một dải $25$ dài hàng mét. Jackson có thể phủ sơn lên bao nhiêu cm vuông tờ giấy?

Bạn đang chơi một trò chơi. Hình chữ nhật $2\times 1$ bao phủ hai hình vuông liền kề (định hướng theo chiều ngang hoặc chiều dọc) của lưới hình vuông $3\times 3$, nhưng bạn không được biết hai hình vuông nào được bao phủ. Mục tiêu của bạn là tìm ít nhất một hình vuông được bao phủ bởi hình chữ nhật. Một lượt chơi bao gồm việc bạn đoán một hình vuông, sau đó bạn được cho biết liệu hình vuông đó có bị hình chữ nhật ẩn che hay không. Bạn cần bao nhiêu lượt quay tối thiểu để đảm bảo rằng ít nhất một trong những ô vuông bạn đoán được bao phủ bởi hình chữ nhật?

Khi nghiệm của đa thức

$$
\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}
$$

bị xóa khỏi trục số, phần còn lại là sự kết hợp của $11$ các khoảng mở rời rạc. Có bao nhiêu khoảng $P(x)$ dương?

Với bao nhiêu số nguyên $n$ biểu thức

$$
\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}
$$

biểu thị một số thực, trong đó $\log$ biểu thị logarit cơ số $10$?

Có bao nhiêu tập con khác trống $B$ của $\{0,1,2,3,\ldots,12\}$ có tính chất là số phần tử trong $B$ bằng phần tử nhỏ nhất của $B?$ Ví dụ: $B=\{4,6,8,11\}$ thỏa mãn điều kiện.

diện tích của vùng trong mặt phẳng tọa độ được xác định bởi

$$
||x|-1|+||y|-1|\le 1?
$$

Trong mặt phẳng $xy$, một đường tròn có bán kính $4$ có tâm trên trục dương $x$ tiếp xúc với trục $y$ tại gốc và một đường tròn có bán kính $10$ với tâm trên trục dương $y$ tiếp tuyến với $x$-axis tại gốc tọa độ. Độ dốc của đường đi qua hai điểm mà các đường tròn này giao nhau là bao nhiêu?

diện tích tối đa của một hình cân hình thang có hai chân dài $1$ và một đáy dài gấp đôi đáy kia là bao nhiêu?

Đối với số phức $u=a+bi$ và $v=c+di,$ xác định phép toán nhị phân $\otimes$ theo

$$
u\otimes v=ac+bdi.
$$

Giả sử $z$ là một số phức sao cho $z\otimes z=z^2+40.$ $|z|?$ là gì

Hình hộp chữ nhật $P$ có độ dài cạnh riêng biệt $a,$ $b,$ và $c.$ Tổng độ dài của tất cả $12$ cạnh của $P$ là $13,$ tổng diện tích của tất cả $6$ mặt của $P$ là $\tfrac{11}{2},$ và thể tích của $P$ là $\tfrac{1}{2}.$ Độ dài của đường chéo trong dài nhất nối hai đỉnh của $P?$ là bao nhiêu

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(a,b)$ thì đa thức $x^3+ax^2+bx+6$ có $3$ nghiệm nguyên riêng biệt?

Giả sử $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương sao cho

$$
\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.
$$

Phát biểu nào sau đây nhất thiết đúng?

I. Nếu $\gcd(a,14)=1$ hoặc $\gcd(b,15)=1$ hoặc cả hai thì $\gcd(c,210)=1.$

II. Nếu $\gcd(c,210)=1,$ thì $\gcd(a,14)=1$ hoặc $\gcd(b,15)=1$ hoặc cả hai.

III. $\gcd(c,210)=1$ khi và chỉ khi $\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.$

Trong Coinland có 3 loại coin, mỗi loại có giá trị $6,$ $10,$ và $15.$ Tổng các chữ số của số tiền tối đa không thể có là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh theo cấp số cộng và cạnh nhỏ nhất có độ dài $6.$ Nếu tam giác có góc $120^\circ,$ thì diện tích của $ABC?$ là bao nhiêu?

Năm học trước Yolanda và Zelda đã tham gia các khóa học khác nhau nên không nhất thiết phải thực hiện cùng số lượng câu hỏi trong mỗi học kỳ. Điểm trung bình của Yolanda trong tất cả các câu hỏi mà cô ấy làm trong học kỳ đầu tiên cao hơn $3$ điểm so với điểm trung bình của Zelda trong tất cả các câu hỏi mà cô ấy làm trong học kỳ đầu tiên. Điểm trung bình của Yolanda trong tất cả các câu hỏi mà cô ấy làm trong học kỳ thứ hai là $18$ điểm cao hơn mức trung bình của cô ấy trong học kỳ đầu tiên và một lần nữa $3$ điểm cao hơn điểm trung bình của Zelda trong tất cả các câu hỏi mà Zelda đã làm trong học kỳ thứ hai của cô ấy. Khẳng định nào sau đây không thể đúng?

Mỗi quả bóng $2023$ được đặt vào một trong các thùng $3$. Điều nào sau đây gần nhất với xác suất rằng mỗi thùng sẽ chứa một số lẻ bóng?

Con ếch Cyrus nhảy $2$ đơn vị theo một hướng, sau đó $2$ thêm đơn vị theo hướng khác. xác suất mà anh ta hạ cánh cách vị trí xuất phát của mình ít hơn $1$ đơn vị là bao nhiêu?