Ngân hàng câu hỏi AMC12 1968

Đặt đơn vị $P$ là mức tăng trong chu vi đường tròn của đường tròn do đường kính tăng $\pi$ đơn vị. Khi đó $P$ bằng:

Giá trị thực của $x$ sao cho $64^{x-1}$ chia cho $4^{x-1}$ bằng $256^{2x}$ là:

Một đường thẳng đi qua điểm $(0,4)$ vuông góc với đường thẳng $x-3y-7=0.$ Phương trình của nó là:

Xác định phép toán $*$ cho số thực dương bằng $a*b=\dfrac{ab}{a+b}.$ Khi đó $4*(4*4)$ bằng:

Nếu $f(n)=\dfrac13n(n+1)(n+2),$ thì $f(r)-f(r-1)$ bằng:

Cho cạnh $AD$ của tứ giác lồi $ABCD$ kéo dài qua $D,$ và để cạnh $BC$ kéo dài qua $C,$ để gặp nhau tại điểm $E.$ Cho $S$ biểu thị tổng độ của các góc $CDE$ và $DCE,$ và đặt $S'$ biểu thị tổng độ của các góc $BAD$ và $ABC.$ Nếu $r=\frac{S}{S'},$ thì:

Gọi $O$ là giao điểm của các đường trung tuyến $AP$ và $CQ$ của tam giác $ABC.$ Nếu $OQ$ là $3$ inch thì $OP,$ tính bằng inch, là:

Một số dương bị chia nhầm cho $6$ thay vì được nhân với $6.$ Dựa trên câu trả lời đúng, lỗi đã phạm phải, tính đến phần trăm gần nhất, là:

Tổng các giá trị thực của $x$ thỏa mãn $\lvert x+2\rvert=2\lvert x-2\rvert$ là:

Giả sử rằng, đối với một trường nào đó, đúng là

$\mathrm{I}:$ Một số học sinh không trung thực.

$\mathrm{II}:$ Tất cả các thành viên trong hội đều trung thực.

Một kết luận cần thiết là:

Nếu một cung $60^\circ$ trên đường tròn $\mathrm{I}$ có cùng độ dài với một cung $45^\circ$ trên đường tròn $\mathrm{II},$ thì tỷ lệ của diện tích của đường tròn $\mathrm{I}$ so với đường tròn $\mathrm{II}$ là:

Một đường tròn đi qua các đỉnh của một tam giác có độ dài các cạnh $7\dfrac12,$ $10,$ $12\dfrac12.$ Bán kính của đường tròn là:

Nếu $m$ và $n$ là nghiệm của $x^2+mx+n=0,$ $m\ne0,$ $n\ne0,$ thì tổng của các nghiệm là:

Nếu $x$ và $y$ là các số khác 0 sao cho $x=1+\dfrac1y$ và $y=1+\dfrac1x,$ thì $y$ bằng:

Đặt $P$ là tích của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp bất kỳ. Số nguyên lớn nhất chia cho tất cả $P$ như vậy là:

Nếu $x$ là $\dfrac1x\lt2$ và $\dfrac1x\gt-3,$ thì:

Đặt $f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},$ trong đó $n$ là số nguyên dương. Nếu $x_k=(-1)^k,$ $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n,$ thì tập hợp các giá trị có thể có của $f(n)$ là:

Cạnh $AB$ của tam giác $ABC$ có chiều dài $8$ inch. Đường thẳng $DEF$ được vẽ song song với $AB$ sao cho $D$ nằm trên đoạn $AC,$ và $E$ nằm trên đoạn $BC.$ Đường thẳng $AE$ mở rộng chia đôi góc $FEC.$ Nếu $DE$ có chiều dài $5$ inch thì chiều dài $CE,$ tính bằng inch là:

Gọi $n$ là số cách mà $10$ đô la có thể được đổi thành hào và quý, với ít nhất một trong mỗi đồng xu được sử dụng. Khi đó $n$ bằng:

Số đo các góc trong của đa giác lồi có cạnh $n$ là cấp số cộng. Nếu hiệu chung là $5^\circ$ và góc lớn nhất là $160^\circ,$ thì $n$ bằng: