Ngân hàng câu hỏi AMC12 1976

Nếu một trừ nghịch đảo của $(1-x)$ bằng nghịch đảo của $(1-x),$ thì $x$ bằng

Có bao nhiêu số thực $x$ là $\sqrt{-(x+1)^2}$ là số thực?

Tổng khoảng cách từ một đỉnh của hình vuông có cạnh bằng 2 đến trung điểm mỗi cạnh của hình vuông là

Giả sử một cấp số nhân với các số hạng $n$ có số hạng đầu tiên, tỷ số chung $r$ và tổng $s,$ trong đó $r$ và $s$ không bằng 0. Tổng của cấp số nhân được hình thành bằng cách thay từng số hạng của cấp số ban đầu bằng số nghịch đảo của nó là

Có bao nhiêu số nguyên lớn hơn mười và nhỏ hơn một trăm viết bằng cơ số 10 được tăng thêm 9 khi đảo ngược các chữ số của chúng?

Nếu $c$ là số thực và âm của một trong các nghiệm của $x^2-3x+c=0$ là nghiệm của $x^2+3x-c=0,$ thì nghiệm của $x^2-3x+c=0$ là

Nếu $x$ là số thực thì đại lượng $(1-|x|)(1+x)$ là dương khi và chỉ khi

Một điểm trong mặt phẳng, cả hai đều có tọa độ hình chữ nhật là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 4, được chọn ngẫu nhiên, với tất cả các điểm như vậy có xác suất bằng nhau được chọn. xác suất là bao nhiêu mà khoảng cách từ điểm đến gốc là nhiều nhất hai đơn vị?

Trong tam giác $ABC,$ $D$ là trung điểm của $AB;$ $E$ là trung điểm của $DB;$ và $F$ là trung điểm của $BC.$ Nếu diện tích của $\triangle ABC$ là $96,$ thì diện tích của $\triangle AEF$ là

Nếu $m,$ $n,$ $p$ và $q$ là số thực và $f(x)=mx+n$ và $g(x)=px+q,$ thì phương trình $f(g(x))=g(f(x))$ có nghiệm

Câu nào sau đây tương đương với câu “Nếu con voi màu hồng trên hành tinh alpha có đôi mắt màu tím thì con lợn rừng trên hành tinh beta không có chiếc mũi dài”?

$\mathrm{I}.$ “Nếu con lợn rừng trên hành tinh beta có chiếc mũi dài thì con voi màu hồng trên hành tinh alpha có đôi mắt màu tím.”

$\mathrm{II}.$ “Nếu con voi màu hồng trên hành tinh alpha không có đôi mắt màu tím, thì con lợn rừng trên hành tinh beta không có chiếc mũi dài.”

$\mathrm{III}.$ “Nếu con lợn rừng trên hành tinh beta có chiếc mũi dài thì con voi màu hồng trên hành tinh alpha không có đôi mắt màu tím.”

$\mathrm{IV}.$ “Con voi màu hồng trên hành tinh alpha không có mắt tím, hoặc con lợn rừng trên hành tinh beta không có chiếc mũi dài.”

*Từ “hoặc” ở đây được dùng với nghĩa bao hàm (như thông lệ trong văn bản toán học).*

Một siêu thị có $128$ thùng táo. Mỗi thùng chứa ít nhất $120$ táo và nhiều nhất $144$ táo. Số nguyên lớn nhất $n$ sao cho phải có ít nhất $n$ thùng chứa cùng số táo là bao nhiêu?

Nếu $x$ con bò cho $x+1$ lon sữa trong $x+2$ ngày thì sẽ mất bao nhiêu ngày $x+3$ con bò để cho $x+5$ lon sữa?

Số đo các góc trong của đa giác lồi là cấp số cộng. Nếu góc nhỏ nhất là $100^\circ$ và góc lớn nhất là $140^\circ,$ thì số cạnh của đa giác là

Nếu $r$ là số dư khi mỗi số $1059,$ $1417$ và $2312$ được chia cho $d,$ trong đó $d$ là số nguyên lớn hơn một, thì $d-r$ bằng

Trong các tam giác $ABC$ và $DEF,$ độ dài $AC,$ $BC,$ $DF$ và $EF$ đều bằng nhau. Độ dài $AB$ gấp đôi độ dài độ cao của $\triangle DEF$ từ $F$ đến $DE.$ Câu nào sau đây là đúng?

$\mathrm{I}.$ $\angle ACB$ và $\angle DFE$ phải bổ sung cho nhau.

$\mathrm{II}.$ $\angle ACB$ và $\angle DFE$ phải là phần bổ sung.

$\mathrm{III}.$ diện tích của $\triangle ABC$ phải bằng diện tích của $\triangle DEF.$

$\mathrm{IV}.$ diện tích của $\triangle ABC$ phải bằng hai lần diện tích của $\triangle DEF.$

Nếu $\theta$ là góc nhọn và $\sin2\theta=a,$ thì $\sin\theta+\cos\theta$ bằng

Trong hình bên cạnh, $AB$ tiếp tuyến tại $A$ với đường tròn có tâm $O;$ điểm $D$ nằm bên trong đường tròn; và $DB$ cắt đường tròn tại $C.$ Nếu $BC=DC=3,$ $OD=2$ và $AB=6,$ thì bán kính của đường tròn là

Một đa thức $p(x)$ có số dư ba khi chia cho $x-1$ và số dư năm khi chia cho $x-3.$ số dư khi $p(x)$ được chia cho $(x-1)(x-3)$ là

Đặt $a,$ $b$ và $x$ là các số thực dương khác biệt với một. Sau đó $$
\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}
$$