Ngân hàng câu hỏi AMC12 1978

Nếu $1-\frac4x+\frac4{x^2}=0,$ thì $\frac2x$ bằng

Nếu bốn lần nghịch đảo của chu vi đường tròn của một hình tròn bằng đường kính của hình tròn thì diện tích của hình tròn là

Đối với tất cả các số khác 0 $x$ và $y$ sao cho $x=\frac{1}{y},$ $$
\left(x-\frac1x\right)\left(y+\frac1y\right)
$$ bằng

Nếu $a=1,$ $b=10,$ $c=100$ và $d=1000,$ thì $$
\begin{aligned} &(a+b+c-d)+(a+b-c+d)\\ &\quad+(a-b+c+d)\\ &\quad+(-a+b+c+d) \end{aligned}
$$ bằng

Bốn cậu bé mua một chiếc thuyền với giá $\$60.$ Cậu bé đầu tiên trả một nửa số tiền mà các cậu bé khác đã trả; cậu thứ hai trả một phần ba số tiền các cậu khác đã trả; và cậu bé thứ ba trả một phần tư số tiền mà các cậu bé khác đã trả. Cậu bé thứ tư đã trả bao nhiêu?

Số cặp số thực phân biệt $(x,y)$ thỏa mãn cả hai phương trình sau: $$
\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}
$$ là

Các cạnh đối diện của một hình lục giác đều cách nhau $12$ inch. Độ dài mỗi cạnh tính bằng inch là

Nếu $x\ne y$ và các chuỗi $x,$ $a_1,$ $a_2,$ $y$ và $x,$ $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $y$ thì mỗi chuỗi đều là theo cấp số cộng thì $\frac{a_2-a_1}{b_2-b_1}$ bằng

Nếu $x\lt0,$ thì $\left|x-\sqrt{(x-1)^2}\right|$ bằng

Nếu $B$ là một điểm trên đường tròn $C$ có tâm $P,$ thì tập hợp tất cả các điểm $A$ trong mặt phẳng đường tròn $C$ sao cho khoảng cách giữa $A$ và $B$ nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách giữa $A$ và bất kỳ điểm nào khác trên đường tròn $C$ đều là

Nếu $r$ dương và đường thẳng có phương trình là $x+y=r$ tiếp xúc với đường tròn có phương trình là $x^2+y^2=r,$ thì $r$ bằng

Trong $\triangle ADE,$ $\angle ADE=140^\circ,$ điểm $B$ và $C$ lần lượt nằm trên các cạnh $AD$ và $AE,$ và các điểm $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ là khác biệt. Nếu độ dài $AB,$ $BC,$ $CD,$ và $DE$ đều bằng nhau thì số đo của $\angle EAD$ là

Nếu $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số khác 0 sao cho $c$ và $d$ là nghiệm của $x^2+ax+b=0$ và $a$ và $b$ là nghiệm của và và của $x^2+cx+d=0,$ thì $a+b+c+d$ bằng

Nếu một số nguyên $n,$ lớn hơn $8,$ là nghiệm của phương trình $x^2-ax+b=0$ và biểu diễn của $a$ trong hệ đếm cơ sở $n$ là $18,$ thì biểu diễn cơ sở $n$ của $b$ là

Nếu $\sin x+\cos x=\frac15$ và $0\le x\lt\pi,$ thì $\tan x$ là

Trong phòng có $N$ người, $N\gt3,$ ít nhất một người chưa bắt tay với những người khác trong phòng. Số người tối đa trong phòng có thể bắt tay với những người khác là bao nhiêu?

Nếu $k$ là một số dương và $f$ là một hàm sao cho, với mọi số dương $x,$ $$
\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,
$$ thì với mọi số dương $y,$ $$
\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}
$$ bằng

Số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01?$

Một số nguyên dương $n$ không vượt quá $100$ được chọn theo cách nếu $n\le50,$ thì xác suất của việc chọn $n$ là $p,$ và nếu $n\gt50,$ thì xác suất của việc chọn $n$ là $3p.$ xác suất mà số chính phương được chọn là

Nếu $a,$ $b,$ $c$ là các số thực khác 0 sao cho $$
\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}
$$ và $$
x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},
$$ và $x\lt0,$ thì $x$ bằng