AMC 12D năm 2021

Giá trị của $$
1234 + 2341 + 3412 + 4123?
$$ là bao nhiêu

diện tích của hình được tô bóng dưới đây là gì?

Vào buổi trưa của một ngày nhất định, Minneapolis ấm hơn $N$ độ so với St. Louis. Tại $4{:}00$ nhiệt độ ở Minneapolis đã giảm $5$ độ trong khi nhiệt độ ở St. Louis đã tăng $3$ độ, lúc đó nhiệt độ ở hai thành phố chênh lệch nhau $2$ độ. Tích của tất cả các giá trị có thể có của $N?$ là bao nhiêu?

Đặt $n = 8^{2022}.$ Giá trị nào sau đây bằng $$
\dfrac{n}{4}?
$$

Gọi một phân số $\dfrac{a}{b},$ không nhất thiết phải ở dạng đơn giản nhất, *đặc biệt* nếu $a$ và $b$ là các số nguyên dương có tổng là $15.$ Có bao nhiêu số nguyên riêng biệt có thể được viết thành tổng của hai, không nhất thiết phải khác nhau, các phân số đặc biệt?

Số nguyên tố lớn nhất là ước của $16{,}384$ là $2$ vì $16{,}384 = 2^{14}.$ Tổng các chữ số của số nguyên tố lớn nhất là ước của $16{,}383?$ là bao nhiêu

Điều kiện nào sau đây đủ để đảm bảo rằng các số nguyên $x,$ $y,$ và $z$ thỏa mãn phương trình $$
\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1? \end{aligned}
$$

Tích độ dài của hai cạnh bằng nhau của một hình tù tam giác cân bằng tích của đáy và gấp đôi chiều cao của tam giác so với đáy. Góc ở đỉnh của tam giác này có số đo bằng bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ là tam giác đều có độ dài cạnh $6.$ Giả sử rằng $O$ là tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác này. diện tích của đường tròn đi qua $A,$ $O,$ và $C?$ là gì

Tổng của tất cả các giá trị có thể có của $t$ giữa $0$ và $360$ sao cho tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh là $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\ $ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ và $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ là cân?

Una tung đồng thời xúc xắc có mặt $6$ tiêu chuẩn $6$ và tính tích của các số $6$ thu được. xác suất của sản phẩm là chia hết cho $4?$

Đối với $n$ số nguyên dương, hãy đặt $f(n)$ là thương số thu được khi tổng của tất cả các ước số dương của $n$ được chia cho $n.$ Ví dụ: $$
\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}
$$ $f(768) - f(384)?$ là gì

Đặt $c = \dfrac{2\pi}{11}.$ Giá trị của $$
\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?
$$ là bao nhiêu

Giả sử rằng $P(z),$ $Q(z),$ và $R(z)$ lần lượt là các đa thức có hệ số thực, có bậc $2,$ $3,$ và $6,$ và các số hạng không đổi $1,$ $2,$ và $3,$ tương ứng. Đặt $N$ là số số phức riêng biệt $z$ thỏa mãn phương trình $$
P(z) \cdot Q(z) = R(z).
$$ Giá trị tối thiểu có thể có của $N?$ là bao nhiêu

Ba tờ giấy hình vuông giống hệt nhau có chiều dài cạnh $6$ được xếp chồng lên nhau. Bảng ở giữa được xoay theo chiều kim đồng hồ $30^\circ$ về tâm của nó và bảng trên cùng được xoay theo chiều kim đồng hồ $60^\circ$ về tâm của nó, dẫn đến đa giác có cạnh $24$ được hiển thị trong hình bên dưới. diện tích của đa giác này có thể được biểu thị dưới dạng $a - b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $a + b + c?$ là gì

Giả sử $a,$ $b,$ $c$ là các số nguyên dương sao cho $$
a + b + c = 23
$$ và $$
\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}
$$ Tổng của tất cả các giá trị phân biệt có thể có của $a^2 + b^2 + c^2?$ là bao nhiêu

Một lỗi bắt đầu ở một đỉnh của lưới được tạo thành từ các tam giác đều có chiều dài cạnh $1.$ Tại mỗi bước, lỗi di chuyển theo một trong các hướng $6$ có thể dọc theo các đường lưới một cách ngẫu nhiên và độc lập với xác suất bằng nhau. xác suất sau khi $5$ di chuyển, lỗi sẽ không bao giờ cách vị trí ban đầu nhiều hơn $1$ đơn vị?

Đặt $u_0 = \dfrac{1}{4},$ và với $k \ge 0$ hãy để $u_{k+1}$ được xác định bằng phép lặp $$
u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2.
$$ Trình tự này có xu hướng đạt tới một giới hạn; gọi nó là $L.$ Giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho $$
|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?
$$

Các đa giác đều có các cạnh $5,$ $6,$ $7,$ và $8$ được ghi trong cùng một vòng tròn. Không có hai đa giác nào có chung một đỉnh và không có ba cạnh nào của chúng cắt nhau tại một điểm chung. Hai cạnh của chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm bên trong đường tròn?

Một khối lập phương được xây dựng từ $4$ khối đơn vị màu trắng và $4$ khối đơn vị màu xanh. Có bao nhiêu cách khác nhau để xây dựng khối $2 \times 2 \times 2$ bằng cách sử dụng các khối nhỏ hơn này? (Hai công trình được coi là giống nhau nếu một công trình có thể được xoay để khớp với công trình kia.)