Ngân hàng câu hỏi AMC12 2005

Hai là $10\%$ của $x$ và $20\%$ của $y.$ $x - y?$ là gì

Các phương trình $2x + 7 = 3$ và $bx - 10 = -2$ có cùng nghiệm cho $x.$ Giá trị của $b?$ là bao nhiêu

Một hình chữ nhật có đường chéo có chiều dài $x$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng. diện tích của hình chữ nhật là gì?

Một cửa hàng thường bán cửa sổ với giá $\$100$ mỗi cửa sổ. Tuần này cửa hàng sẽ cung cấp một cửa sổ miễn phí cho mỗi lần mua bốn chiếc. Dave cần bảy cửa sổ và Doug cần tám cửa sổ. Họ sẽ tiết kiệm được bao nhiêu đô la nếu họ mua các cửa sổ cùng nhau thay vì mua riêng lẻ?

Trung bình (trung bình cộng) của $20$ số là $30,$ và trung bình của $30$ các số khác là $20.$ Trung bình cộng của tất cả các số $50$ là bao nhiêu?

Josh và Mike sống cách nhau $13$ dặm. Hôm qua Josh bắt đầu đạp xe về phía nhà Mike. Một lúc sau Mike bắt đầu đạp xe về phía nhà Josh. Khi họ gặp nhau, Josh đã lái xe với thời gian gấp đôi Mike và bằng 4/5 tốc độ của Mike. Mike đã đi được bao nhiêu dặm khi họ gặp nhau?

Hình vuông $EFGH$ nằm bên trong hình vuông $ABCD$ sao cho mỗi cạnh của $EFGH$ có thể được kéo dài để đi qua một đỉnh của $ABCD.$ Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh $\sqrt{50},$ $E$ nằm trong khoảng từ $B$ đến $H,$ và $BE = 1.$ diện tích của hình vuông bên trong $EFGH?$ là gì

Đặt $A,$ $M,$ và $C$ là các chữ số với $$
\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}
$$ $A?$ là gì

Có hai giá trị của $a$ mà phương trình $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ chỉ có một nghiệm cho $x.$ Tổng các giá trị đó của $a?$ là bao nhiêu

Một khối lập phương bằng gỗ $n$ ở một bên được sơn màu đỏ trên cả sáu mặt và sau đó được cắt thành các khối đơn vị $n^3$. Chính xác một phần tư tổng số mặt của các khối đơn vị có màu đỏ. $n?$ là gì

Có bao nhiêu số có ba chữ số thỏa mãn tính chất chữ số ở giữa bằng trung bình cộng của chữ số đầu và chữ số cuối?

Một đường thẳng đi qua $A(1, 1)$ và $B(100, 1000).$ Có bao nhiêu điểm khác có tọa độ nguyên nằm trên đường thẳng đó và nằm giữa $A$ và $B?$

Trong ngôi sao năm mặt được hiển thị, các chữ cái $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E$ được thay thế bằng các số $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ và $9,$ mặc dù không nhất thiết phải theo thứ tự đó. Tổng các số ở cuối các đoạn thẳng $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ và $EA$ tạo thành cấp số cộng, mặc dù không nhất thiết phải theo thứ tự đó. Số hạng giữa của cấp số cộng là gì?

Trên một khuôn tiêu chuẩn, một trong các chấm được loại bỏ ngẫu nhiên với khả năng được chọn là như nhau. Sau đó xúc xắc được lăn. xác suất mà mặt trên có số chấm lẻ là gì?

Đặt $AB$ là đường kính của một đường tròn và $C$ là một điểm trên $AB$ với $2 \cdot AC = BC.$ Đặt $D$ và $E$ là các điểm trên đường tròn sao cho $DC \perp AB$ và $DE$ là đường kính thứ hai. Tỷ lệ của diện tích của $\triangle DCE$ với diện tích của $\triangle ABD?$ là bao nhiêu

Ba đường tròn bán kính $s$ được vẽ trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng $xy$. Đường tròn đầu tiên tiếp xúc với cả hai trục, đường tròn thứ hai tiếp tuyến với đường tròn thứ nhất và trục $x$, và đường tròn thứ ba tiếp tuyến với đường tròn thứ nhất và trục $y$. Một đường tròn có bán kính $r \gt s$ tiếp xúc với cả hai trục và đường tròn thứ hai và thứ ba. $\frac{r}{s}?$ là gì

Một khối lập phương đơn vị được cắt hai lần để tạo thành ba hình lăng trụ tam giác, hai trong số đó là bằng nhau, như trong Hình $1.$ Sau đó, khối lập phương này được cắt theo cách tương tự dọc theo các đường đứt nét như trong Hình $2.$ Điều này tạo ra chín mảnh. thể tích của mảnh chứa đỉnh $W?$ là gì

Gọi một số là "hình nguyên tố" nếu nó là hợp số nhưng không phải chia hết cho $2,$ $3,$ hoặc $5.$ Ba số nguyên tố nhỏ nhất là $49,$ $77,$ và $91.$ Có $168$ số nguyên tố nhỏ hơn $1000.$ Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn $1000?$

Đồng hồ đo đường trên ô tô bị lỗi sẽ chuyển từ chữ số $3$ sang chữ số $5,$ luôn bỏ qua chữ số $4,$ bất kể vị trí. Ví dụ: sau khi đi được một dặm, đồng hồ đo đường đã thay đổi từ $000039$ thành $000050.$ Nếu đồng hồ đo đường bây giờ ghi $002005,$ thì chiếc xe thực sự đã đi được bao nhiêu dặm?

Với mỗi $x$ trong $[0, 1],$ xác định $$
f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases}
$$ Đặt $f^{[2]}(x) = f(f(x)),$ và $f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))$ cho mỗi số nguyên $n \ge 2.$ Với bao nhiêu giá trị của $x$ trong $[0, 1]$ là $f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}?$