Ngân hàng câu hỏi AMC12 2018

Một chiếc bình lớn chứa $100$ quả bóng, trong đó $36\%$ có màu đỏ và phần còn lại có màu xanh lam. Phải loại bỏ bao nhiêu quả bóng màu xanh để tỷ lệ số quả bóng màu đỏ trong bình sẽ là $72\%?$ (Không được loại bỏ quả bóng màu đỏ.)

Trong khi khám phá một hang động, Carl tình cờ thấy một bộ sưu tập các tảng đá $5$ pound trị giá $\$14$ mỗi viên, $4$-pao đá trị giá $\$11$ mỗi viên và $1$- pound đá trị giá $\$2$ mỗi viên. Có ít nhất $20$ cho mỗi kích thước. Anh ta có thể mang nhiều nhất $18$ pound. Giá trị tối đa tính bằng đô la của số đá anh ta có thể mang ra khỏi hang là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách để một học sinh có thể sắp xếp các khóa học toán $3$—đại số, hình học và lý thuyết số—trong một ngày $6$ nếu không thể học hai khóa toán trong các tiết liên tiếp? (Những khóa học nào học sinh học trong các tiết học $3$ khác không được quan tâm ở đây.)

Alice, Bob và Charlie đang đi bộ đường dài và đang tự hỏi thị trấn gần nhất cách đây bao xa. Khi Alice nói: “Chúng tôi cách ít nhất $6$ dặm,” Bob trả lời: “Chúng tôi cách nhiều nhất $5$ dặm.” Charlie sau đó nhận xét: “Thực ra thị trấn gần nhất cách nhiều nhất $4$ dặm.” Hóa ra không có tuyên bố nào trong ba tuyên bố là đúng. Gọi $d$ là khoảng cách tính bằng dặm tới thị trấn gần nhất. Khoảng nào sau đây là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của $d?$

Tổng của tất cả các giá trị có thể có của $k$ mà đa thức $x^2 - 3x + 2$ và $x^2 - 5x + k$ có cùng gốc là bao nhiêu?

Đối với các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $m + 10 \lt n + 1,$ cả trung bình cộng và trung vị của tập hợp $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ đều bằng $n.$ $m + n?$ là gì

Có bao nhiêu giá trị nguyên (không nhất thiết phải dương) của $n$ thì giá trị của $$
4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n
$$ là một số nguyên?

Tất cả các tam giác trong sơ đồ bên dưới là đồng dạng đến tam giác cân $ABC,$ trong đó $AB = AC.$ Mỗi tam giác nhỏ nhất $7$ có diện tích $1,$ và $\triangle ABC$ có diện tích $40.$ diện tích của hình thang $DBCE?$ là gì

Câu nào sau đây mô tả tập hợp con lớn nhất của các giá trị $y$ trong khoảng đóng $[0, \pi]$ mà $$
\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)
$$ cho mọi $x$ nằm giữa $0$ và $\pi,$?

Có bao nhiêu cặp số thực có thứ tự $(x, y)$ thỏa mãn hệ phương trình sau đây?

$$
x + 3y = 3
$$ $$
\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1
$$

Một hình tam giác bằng giấy có các cạnh có độ dài $3,$ $4,$ và $5$ inch, như được hiển thị, được gấp lại sao cho điểm $A$ rơi vào điểm $B.$ Chiều dài tính bằng inch của nếp gấp là bao nhiêu?

Đặt $S$ là một tập hợp các số nguyên $6$ được lấy từ $\{1, 2, \ldots, 12\}$ với thuộc tính là nếu $a$ và $b$ là các phần tử của $S$ với $a \lt b,$ thì $b$ không phải là một bội số của $a.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của một phần tử của $S?$ là bao nhiêu

Có thể viết được bao nhiêu số nguyên không âm dưới dạng

$$
\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}
$$

trong đó $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ cho $0 \le i \le 7?$

Nghiệm của phương trình $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ trong đó $x$ là số thực dương khác với $\tfrac13$ hoặc $\tfrac12,$ có thể được viết là $\tfrac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $p + q?$ là gì

Mã quét bao gồm một lưới hình vuông $7 \times 7$, với một số hình vuông có màu đen và phần còn lại có màu trắng. Phải có ít nhất một hình vuông mỗi màu trong lưới hình vuông $49$ này. Mã quét được gọi là *đối xứng* nếu hình thức của nó không thay đổi khi toàn bộ hình vuông được xoay bởi một bội số của $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ xung quanh tâm của nó, cũng như khi nó được phản chiếu qua một đường nối các góc đối diện hoặc một đường nối trung điểm của các cạnh đối diện. Tổng số mã quét đối xứng có thể có là bao nhiêu?

Điều nào sau đây mô tả tập hợp các giá trị của $a$ mà các đường cong $x^2 + y^2 = a^2$ và $y = x^2 - a$ trong mặt phẳng thực $xy$ giao nhau tại chính xác các điểm $3$?

Nông dân Pythagoras có một cánh đồng có hình dạng tam giác vuông. Chân của tam giác vuông có độ dài theo đơn vị $3$ và $4$. Ở góc nơi các cạnh đó gặp nhau tạo thành một góc vuông, anh ấy để lại một hình vuông nhỏ không được trồng $S$ để nhìn từ trên không nó trông giống như biểu tượng góc vuông. Diện tích còn lại được trồng. Khoảng cách ngắn nhất từ ​​$S$ đến cạnh huyền là $2$ đơn vị. Diện tích ruộng được trồng là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ với $AB = 50$ và $AC = 10$ có diện tích $120.$ Đặt $D$ là trung điểm của $\overline{AB},$ và đặt $E$ là trung điểm của $\overline{AC}.$ đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $\overline{DE}$ và $\overline{BC}$ lần lượt tại $F$ và $G,$. diện tích của tứ giác $FDBG?$ là gì

Đặt $A$ là tập hợp các số nguyên dương không có thừa số nguyên tố nào ngoài $2,$ $3,$ hoặc $5.$ Tổng vô hạn $$
\begin{aligned} &\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \\ &\quad {}+ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \\ &\quad {}+ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots \end{aligned}
$$ của các nghịch đảo của tất cả các phần tử của $A$ có thể được biểu thị dưới dạng $\tfrac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. $m + n?$ là gì

Tam giác $ABC$ là tam giác cân tam giác vuông với $AB = AC = 3.$ Đặt $M$ là trung điểm của cạnh huyền $\overline{BC}.$ Các điểm $I$ và $E$ nằm trên hai cạnh $\overline{AC}$ và $\overline{AB},$ tương ứng, sao cho $AI \gt AE$ và $AIME$ là một tứ giác nội tiếp. Cho tam giác $EMI$ có diện tích $2,$ độ dài $CI$ có thể được viết là $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $b$ là không phải chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Giá trị của $a + b + c?$ là bao nhiêu