AMC 12B năm 2021

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn $|x| \lt 3\pi?$

Tại một cuộc thi toán, $57$ học sinh mặc áo sơ mi xanh và một học sinh $75$ khác mặc áo sơ mi màu vàng. Học sinh $132$ được chia thành các cặp $66$. Trong chính xác $23$ trong số các cặp này, cả hai học sinh đều mặc áo sơ mi xanh. Có bao nhiêu cặp học sinh đều mặc áo vàng?

Giả sử $$
2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.
$$

Giá trị của $x?$ là bao nhiêu

Cô Blackwell chấm bài cho hai lớp. trung bình cộng điểm của học sinh lớp buổi sáng là $84,$ và điểm trung bình cộng của lớp buổi chiều là $70.$ Tỷ lệ số học sinh lớp buổi sáng so với số học sinh lớp buổi chiều là $\dfrac{3}{4}.$ Điểm trung bình cộng của tất cả các học sinh là bao nhiêu? sinh viên?

Điểm $P(a,b)$ trong mặt phẳng $xy$ trước tiên được quay ngược chiều kim đồng hồ bởi $90^\circ$ quanh điểm $(1,5)$ và sau đó phản ánh về đường thẳng $y=-x.$ Ảnh của $P$ sau hai phép biến đổi này là $(-6,3).$ $b-a?$ là gì

Một hình nón ngược có bán kính đáy $12$ cm và chiều cao $18$ cm chứa đầy nước. Nước được đổ vào một hình trụ cao có đáy nằm ngang có bán kính $24$ cm. Chiều cao tính bằng cm của nước trong xi lanh là bao nhiêu?

Đặt $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ Tỉ lệ của tổng các ước số lẻ của $N$ với tổng các ước số chẵn của $N?$ là bao nhiêu?

Ba đường thẳng song song cách đều nhau cắt nhau thành một đường tròn, tạo thành ba dây có độ dài $38,$ $38,$ và $34.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song liền kề là bao nhiêu?

Giá trị của biểu thức sau là gì? $$
\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}
$$

Hai số riêng biệt được chọn từ tập $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ sao cho tổng của các số $35$ còn lại là tích của hai số này. Sự khác biệt của hai con số này là gì?

Tam giác $ABC$ có $AB=13,$ $BC=14,$ và $AC=15.$ Đặt $P$ là điểm trên $\overline{AC}$ sao cho $PC=10.$ Có đúng hai điểm $D$ và $E$ trên một đường thẳng $BP$ sao cho tứ giác $ABCD$ và $ABCE$ là hình thang. Khoảng cách $DE?$ là bao nhiêu

Giả sử rằng $S$ là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương. Nếu số nguyên lớn nhất trong $S$ bị xóa khỏi $S,$ thì giá trị trung bình (số học trung bình cộng) của các số nguyên còn lại là $32.$ Nếu số nguyên nhỏ nhất trong $S$ cũng bị xóa, thì giá trị trung bình của các số nguyên còn lại là $35.$ Nếu số nguyên lớn nhất sau đó được trả về tập hợp, giá trị trung bình của các số nguyên tăng lên $40.$ Số nguyên lớn nhất trong tập hợp ban đầu $S$ là $72$ lớn hơn số nguyên nhỏ nhất trong $S.$ Giá trị trung bình của tất cả các số nguyên trong tập hợp $S?$ là bao nhiêu

Có bao nhiêu giá trị của $\theta$ trong khoảng $0\lt\theta\le 2\pi$ thỏa mãn phương trình sau? $$
1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0
$$

Giả sử $ABCD$ là một hình chữ nhật và $\overline{DM}$ là một đoạn vuông góc với mặt phẳng của $ABCD.$ Giả sử rằng $\overline{DM}$ có độ dài nguyên và độ dài của $\overline{MA},$ $\overline{MC},$ và $\overline{MB}$ là các số nguyên dương lẻ liên tiếp (theo thứ tự này). thể tích của kim tự tháp $MABCD?$ là gì

Hình được xây dựng từ các đoạn thẳng $11$, mỗi đoạn có độ dài $2.$ diện tích của hình ngũ giác $ABCDE$ có thể được viết là $\sqrt m+\sqrt n,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương. $m+n?$ là gì

Giả sử $g(x)$ là một đa thức có hệ số dẫn đầu $1,$ có ba nghiệm là nghịch đảo của ba nghiệm của $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,$ trong đó $1\lt a\lt b\lt c.$ $g(1)$ là gì theo $a,$ $b,$ và $c?$

Cho $ABCD$ là một hình cân hình thang có hai đáy song song $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ với $AB\gt CD.$ Các đoạn thẳng từ một điểm bên trong $ABCD$ đến các đỉnh chia hình thang thành bốn hình tam giác có diện tích là $2,$ $3,$ $4,$ và $5$ bắt đầu bằng tam giác có đáy $\overline{CD}$ và di chuyển theo chiều kim đồng hồ như minh họa trong sơ đồ bên dưới. Tỷ lệ $\dfrac{AB}{CD}?$ là bao nhiêu

Giả sử $z$ là số phức thỏa mãn $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.$ Giá trị của $z+\dfrac{6}{z}?$ là bao nhiêu

Hai viên xúc xắc công bằng, mỗi viên có mặt ít nhất $6$ được tung ra. Trên mỗi mặt của mỗi xúc xắc được in một số nguyên riêng biệt từ $1$ đến số mặt trên xúc xắc đó, bao gồm cả số đó. xác suất của việc tung tổng $7$ là $\dfrac34$ của xác suất của việc tung tổng $10,$ và xác suất của việc tung tổng $12$ là $\dfrac{1}{12}.$ Số nhỏ nhất có thể có của là bao nhiêu mặt trên hai con xúc xắc cộng lại?

Giả sử $Q(z)$ và $R(z)$ là các đa thức duy nhất sao cho $$
\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}
$$ và bậc của $R$ nhỏ hơn $2.$ $R(z)?$ là gì