Ngân hàng câu hỏi AMC12 2013

Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh $10.$ Điểm $E$ nằm trên $\overline{BC},$ và diện tích của $\triangle ABE$ là $40.$ $BE?$ là gì

Một đội bóng mềm đã chơi mười trận, ghi điểm $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ và $10$ chạy. Họ thua đúng một trận trong đúng năm trận. Trong mỗi trận đấu khác, họ ghi được số lần chạy nhiều gấp đôi đối thủ. Đối thủ của họ đã ghi được tổng cộng bao nhiêu lượt chạy?

Một bó hoa có hoa hồng màu hồng, hoa hồng đỏ, hoa cẩm chướng màu hồng và hoa cẩm chướng đỏ. Một phần ba số hoa màu hồng là hoa hồng, ba phần tư số hoa màu đỏ là hoa cẩm chướng và sáu phần mười số hoa có màu hồng. Có bao nhiêu phần trăm số hoa là hoa cẩm chướng?

Giá trị của $$
\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}?
$$ là bao nhiêu

Tom, Dorothy và Sammy đi nghỉ và đồng ý chia đều chi phí. Trong chuyến đi của họ, Tom đã trả $\$105,$ Dorothy đã trả $\$125,$ và Sammy đã trả $\$175.$ Để chia đều chi phí, Tom đã đưa cho Sammy $t$ đô la và Dorothy đã đưa cho Sammy $d$ đô la. $t - d?$ là gì

Trong một trận đấu bóng rổ gần đây, Shenille chỉ cố gắng thực hiện những cú sút ba điểm và những cú sút hai điểm. Cô ấy đã thành công với $20\%$ trong số các cú đánh ba điểm của mình và $30\%$ trong số các cú đánh hai điểm của mình. Shenille đã thử $30$ cú sút. Cô ấy đã ghi được bao nhiêu điểm?

Dãy số $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $\ldots,$ $S_{10}$ có đặc tính là mọi số hạng bắt đầu bằng số hạng thứ ba đều là tổng của hai số hạng trước đó. Nghĩa là, $$
S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ for } n \ge 3.
$$ Giả sử rằng $S_9 = 110$ và $S_7 = 42.$ $S_4?$ là gì

Cho rằng $x$ và $y$ là các số thực khác 0 riêng biệt sao cho $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ $xy?$

Trong $\triangle ABC,$ $AB = AC = 28$ và $BC = 20.$ Điểm $D,$ $E,$ và $F$ lần lượt nằm ở các cạnh $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ và $\overline{AC},$, sao cho $\overline{DE}$ và $\overline{EF}$ lần lượt song song với $\overline{AC}$ và $\overline{AB},$. chu vi của hình bình hành $ADEF?$ là gì

Đặt $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ trong đó $\dfrac{1}{n}$ có biểu diễn thập phân lặp lại $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ với $a$ và $b$ các chữ số khác nhau. Tổng các phần tử của $S?$ là bao nhiêu

Tam giác $ABC$ là đều với $AB = 1.$ Điểm $E$ và $G$ nằm trên $\overline{AC}$ và các điểm $D$ và $F$ nằm trên $\overline{AB}$ sao cho cả hai $\overline{DE}$ và $\overline{FG}$ song song với $\overline{BC}.$ Hơn nữa, tam giác $ADE$ và hình thang $DFGE$ và $FBCG$ đều có cùng chu vi. $DE + FG?$ là gì

Các góc trong một tam giác cụ thể có cấp số cộng và độ dài các cạnh là $4,$ $5,$ và $x.$ Tổng các giá trị có thể có của $x$ bằng $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương. $a + b + c?$ là gì

Cho các điểm $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ và $D = (4, 0).$ Tứ giác $ABCD$ được cắt thành các phần diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua $A.$ Đường thẳng này cắt $\overline{CD}$ tại điểm $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ trong đó các phân số này ở dạng thấp nhất. $p + q + r + s?$ là gì

Dãy $$
\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}
$$ là một cấp số cộng. $x?$ là gì

Thỏ Peter và Pauline có ba đứa con—Flopsie, Mopsie và Cottontail. Năm con thỏ này sẽ được phân phối cho bốn cửa hàng thú cưng khác nhau để không có cửa hàng nào có cả bố và mẹ. Không nhất thiết cửa hàng nào cũng có một con thỏ. Có bao nhiêu cách khác nhau có thể thực hiện được điều này?

$A,$ $B,$ và $C$ là ba đống đá. Trọng lượng trung bình cộng của đá trong $A$ là $40$ pounds, trung bình cộng trọng lượng của đá trong $B$ là $50$ pounds, trung bình cộng trọng lượng của đá trong cọc liên hợp $A$ và $B$ là $43$ pound, và trọng lượng trung bình cộng của đá trong các cọc tổng hợp $A$ và $C$ là $44$ pound. Giá trị nguyên lớn nhất có thể có của trung bình cộng tính bằng pound của đá trong các đống kết hợp $B$ và $C?$ là bao nhiêu?

Một nhóm cướp biển $12$ đồng ý chia một rương chứa tiền vàng cho nhau như sau. Tên cướp biển thứ $k$được chia phần sẽ nhận $\dfrac{k}{12}$ số xu còn lại trong rương. Số lượng xu ban đầu trong rương là số nhỏ nhất mà cách sắp xếp này sẽ cho phép mỗi tên cướp biển nhận được một số nguyên dương. Tên cướp biển thứ $12$ nhận được bao nhiêu xu?

Sáu hình cầu có bán kính $1$ được đặt sao cho tâm của chúng nằm ở các đỉnh của một hình lục giác đều có chiều dài cạnh $2.$ Sáu hình cầu tiếp tuyến bên trong với một hình cầu lớn hơn có tâm là tâm của hình lục giác. Quả cầu thứ tám tiếp xúc bên ngoài với sáu quả cầu nhỏ hơn và tiếp tuyến bên trong với quả cầu lớn hơn. Bán kính của quả cầu thứ tám này là bao nhiêu?

Trong $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ và $AC = 97.$ Một đường tròn có tâm $A$ và bán kính $AB$ cắt $\overline{BC}$ tại các điểm $B$ và $X.$ Ngoài ra $\overline{BX}$ và $\overline{CX}$ có độ dài nguyên. $BC?$ là gì

Đặt $S$ là tập hợp $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.$ Với $a,$ $b \in S,$ xác định $a \succ b$ đến trung bình cộng mà $0 \lt a - b \le 9$ hoặc $b - a \gt 9.$ Có bao nhiêu bộ ba được sắp xếp $(x, y, z)$ của các phần tử của $S$ có thuộc tính $x \succ y,$ $y \succ z,$ và $z \succ x?$