AMC 12B năm 2024

Trong một hàng dài người được sắp xếp từ trái sang phải, người thứ $1013$từ bên trái cũng là người thứ $1010$từ bên phải. Có bao nhiêu người trong hàng?

$10! - 7! \cdot 6!?$ là gì

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ là $|2x| \le 7\pi?$

Các quả bóng được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ được gửi vào các thùng $5$, được dán nhãn $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E,$ bằng cách sử dụng quy trình sau. Bóng $1$ được gửi vào thùng $A,$ và các quả bóng $2$ và $3$ được gửi vào $B.$ Ba quả bóng tiếp theo được gửi vào thùng $C,$ $4$ tiếp theo trong thùng $D,$, v.v. bật, quay trở lại thùng $A$ sau khi bóng được gửi vào thùng $E.$ (Ví dụ: $22,$ $23,$ $\ldots,$ $28$ được gửi vào thùng $B$ ở bước $7$ của quy trình này.) Trong quả bóng $2024$ đã được gửi vào thùng nào?

Trong biểu thức sau, Melanie đã thay đổi một số dấu cộng thành dấu trừ:

$$
1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99
$$

Khi biểu thức mới được đánh giá, nó có giá trị âm. Số dấu cộng ít nhất mà Melanie có thể đổi thành dấu trừ là bao nhiêu?

Nợ quốc gia của Hoa Kỳ đang trên đà đạt $5 \cdot 10^{13}$ đô la $2033.$ Số đô la này có bao nhiêu chữ số khi được viết dưới dạng chữ số trong cơ số $5?$ (Xấp xỉ của $\log_{10} 5$ là $0.7$ là đủ cho bài toán này.)

Trong hình bên dưới $WXYZ$ là một hình chữ nhật có $WX = 4$ và $WZ = 8.$ Điểm $M$ nằm trên $\overline{XY},$ điểm $A$ nằm trên $\overline{YZ},$ và $\angle WMA$ là một góc vuông. Diện tích của $\triangle WXM$ và $\triangle WAZ$ bằng nhau. diện tích của $\triangle WMA?$ là gì

Giá trị nào của $x$ thỏa mãn

$$
\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?
$$

Bảng phi tiêu là vùng $B$ trong mặt phẳng tọa độ bao gồm các điểm $(x, y)$ sao cho $|x| + |y| \le 8.$ Mục tiêu $T$ là vùng trong đó $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ Phi tiêu được ném và hạ cánh tại một điểm ngẫu nhiên trong $B.$ xác suất mà phi tiêu hạ cánh trong $T$ có thể được biểu thị dưới dạng $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì

Danh sách các số thực $9$ bao gồm $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ và $7,$ cũng như $x,$ $y,$ $z$ với $x \le y \le z.$ Phạm vi của danh sách là $7,$ và trung bình cộng và trung vị đều là số nguyên dương. Có thể có bao nhiêu bộ ba có thứ tự $(x, y, z)$?

Đặt $x_n = \sin^2(n^\circ).$ trung bình cộng của $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ $x_{90}?$ là gì

Giả sử $z$ là số phức có phần ảo dương, phần thực lớn hơn $1,$ và với $|z| = 2.$ Trong mặt phẳng phức, bốn điểm $0,$ $z,$ $z^2,$ và $z^3$ là các đỉnh của một tứ giác với diện tích $15.$ Phần ảo của $z?$ là gì

Có các số thực $x,$ $y,$ $h,$ và $k$ thỏa mãn hệ phương trình

$$
x^2 + y^2 - 6x - 8y = h
$$

$$
x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.
$$

Giá trị tối thiểu có thể có của $h + k?$ là bao nhiêu

Có thể có bao nhiêu số dư khác nhau khi chia lũy thừa thứ $100$ của một số nguyên cho $125?$

Một tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh $A(\log_2 1, \log_2 2),$ $B(\log_2 3, \log_2 4),$ và $C(\log_2 7, \log_2 8).$ diện tích của $\triangle ABC?$ là gì

Một nhóm $16$ người sẽ được phân chia thành các ủy ban $4$ không thể phân biệt được $4$-người. Mỗi ủy ban sẽ có một chủ tịch và một thư ký. Số cách khác nhau để thực hiện các phép gán này có thể được viết là $3^r M,$ trong đó $r$ và $M$ là số nguyên dương và $M$ không phải là chia hết cho $3.$ $r?$ là gì

Các số nguyên $a$ và $b$ được chọn ngẫu nhiên mà không thay thế từ tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $10.$ xác suất mà đa thức $x^3 + ax^2 + bx + 6$ có $3$ nghiệm số nguyên riêng biệt là gì?

Các số Fibonacci được xác định bởi $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ và $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ cho $n \ge 3.$

$$
\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?
$$

$\triangle ABC$ đều có chiều dài cạnh $14$ được quay quanh tâm của nó theo góc $\theta,$ trong đó $0 \lt \theta \lt 60^\circ,$ để tạo thành $\triangle DEF.$ Xem hình. diện tích của hình lục giác $ADBECF$ là $91\sqrt3.$ $\tan\theta?$ là gì

Giả sử $A,$ $B,$ và $C$ là các điểm trong mặt phẳng với $AB = 40$ và $AC = 42,$ và đặt $x$ là độ dài của đoạn thẳng từ $A$ đến điểm giữa của $\overline{BC}.$ Xác định hàm $f$ bằng cách đặt $f(x)$ là diện tích của $\triangle ABC.$ Khi đó miền xác định của $f$ là một khoảng mở $(p, q),$ và giá trị tối đa $r$ của $f(x)$ xảy ra tại $x = s.$ $p + q + r + s?$ là gì