Ngân hàng câu hỏi AMC12 2016

Giá trị của $$
\dfrac{11!-10!}{9!}?
$$ là bao nhiêu

Với giá trị nào của $x$ thì $10^x\cdot 100^{2x}=1000^5?$

Hàm số dư có thể được xác định cho tất cả các số thực $x$ và $y$ với $y\neq 0$ bởi $$
\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor,
$$ trong đó $\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $\dfrac{x}{y}.$ Giá trị của $\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)?$ là bao nhiêu

trung bình cộng, trung vị và chế độ của các giá trị dữ liệu $7$ $60,$ $100,$ $x,$ $40,$ $50,$ $200,$ $90$ đều bằng $x.$ Giá trị của $x?$ là bao nhiêu

Phỏng đoán của Goldbach phát biểu rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn $2$ đều có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố (ví dụ: $2016=13+2003$). Cho đến nay, chưa ai có thể chứng minh được giả thuyết đó là đúng và cũng chưa có ai tìm được phản ví dụ nào chứng minh rằng giả thuyết đó là sai. Một phản ví dụ sẽ bao gồm những gì?

Một mảng tam giác gồm $2016$ đồng xu có $1$ đồng xu ở hàng đầu tiên, $2$ đồng xu ở hàng thứ hai, $3$ đồng xu ở hàng thứ ba, v.v. lên đến $N$ đồng xu ở hàng thứ $N$. Tổng các chữ số của $N?$ là bao nhiêu

Điều nào sau đây mô tả đồ thị của $x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)?$

diện tích của vùng tô bóng của hình chữ nhật $8\times 5$ đã cho là gì?

Năm hình vuông nhỏ được tô bóng bên trong hình vuông đơn vị này là bằng nhau và có phần bên trong rời rạc. Trung điểm mỗi cạnh của hình vuông ở giữa trùng với một trong các đỉnh của bốn hình vuông nhỏ còn lại như hình vẽ. Độ dài cạnh chung là $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên dương. $a+b?$ là gì

Năm người bạn ngồi trong rạp chiếu phim thành một hàng có $5$ ghế, được đánh số $1$ đến $5$ từ trái sang phải. (Hướng “trái” và “phải” là từ góc nhìn của mọi người khi họ ngồi trên ghế.) Trong lúc chiếu phim, Ada đi ra sảnh để lấy một ít bỏng ngô. Khi quay lại, cô thấy Bea đã chuyển hai ghế sang bên phải, Ceci đã chuyển một ghế sang trái, còn Dee và Edie đã đổi chỗ, chừa lại một ghế cuối cho Ada. Ada đã ngồi ở ghế nào trước khi đứng dậy?

Mỗi học sinh $100$ trong một trại hè nhất định có thể hát, nhảy hoặc diễn xuất. Một số học sinh có nhiều hơn một tài năng, nhưng không có học sinh nào có cả ba tài năng. Có $42$ học sinh không biết hát, $65$ học sinh không biết nhảy và $29$ học sinh không biết diễn xuất. Có bao nhiêu học sinh có được hai tài năng này?

Trong $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ và $CA=8.$ Điểm $D$ nằm trên $\overline{BC},$ và $\overline{AD}$ chia đôi $\angle BAC.$ Điểm $E$ nằm trên $\overline{AC},$ và $\overline{BE}$ chia đôi $\angle ABC.$ Các đường phân giác cắt nhau tại $F.$ Tỷ lệ $AF:FD?$ là bao nhiêu

Giả sử $N$ là số dương bội số của $5.$ Một quả bóng màu đỏ và $N$ quả bóng xanh được sắp xếp thành một hàng theo thứ tự ngẫu nhiên. Giả sử $P(N)$ là xác suất mà ít nhất $\dfrac{3}{5}$ của các quả bóng xanh nằm cùng phía với quả bóng đỏ. Quan sát rằng $P(5)=1$ và $P(N)$ tiến tới $\dfrac{4}{5}$ khi $N$ phát triển lớn. Tổng các chữ số có giá trị nhỏ nhất của $N$ sao cho $P(N)\lt\dfrac{321}{400}?$

Mỗi đỉnh của khối lập phương phải được gắn nhãn bằng một số nguyên từ $1$ đến $8,$ với mỗi số nguyên được sử dụng một lần, sao cho tổng của bốn số trên các đỉnh của một mặt là như nhau đối với mỗi mặt. Sự sắp xếp có thể thu được từ nhau thông qua các phép quay của khối lập phương được coi là giống nhau. Có thể có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?

Các đường tròn có tâm $P,$ $Q,$ và $R,$ có bán kính $1,$ $2,$ và $3,$ lần lượt nằm trên cùng một phía của đường thẳng $l$ và tiếp tuyến với $l$ tại $P',$ $Q',$ và $R',$ tương ứng, với $Q'$ nằm giữa $P'$ và $R'.$ Đường tròn có tâm $Q$ tiếp tuyến ngoài với mỗi đường tròn trong số hai đường tròn còn lại. diện tích của $\triangle PQR?$ là gì

Đồ thị của $y=\log_3 x,$ $y=\log_x 3,$ $y=\log_{\frac{1}{3}} x,$ và $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ được vẽ trên cùng một bộ trục. Có bao nhiêu điểm trong mặt phẳng có tọa độ dương $x$ nằm trên hai hoặc nhiều đồ thị?

Đặt $ABCD$ là một hình vuông. Đặt $E,$ $F,$ $G,$ và $H$ lần lượt là tâm của các tam giác đều có đáy $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ và $\overline{DA},$ ở bên ngoài hình vuông. Tỷ lệ của diện tích của hình vuông $EFGH$ với diện tích của hình vuông $ABCD?$ là bao nhiêu

Đối với một số số nguyên dương $n,$ thì số $110n^3$ có $110$ các ước số nguyên dương, bao gồm $1$ và số $110n^3.$ Số $81n^4$ có bao nhiêu ước số nguyên dương?

Jerry bắt đầu tại $0$ trên trục số thực. Anh ta tung đồng xu công bằng $8$ lần. Khi anh ta được mặt ngửa, anh ta di chuyển đơn vị $1$ theo hướng dương; khi anh ta được mặt sấp, anh ta di chuyển đơn vị $1$ theo hướng âm. xác suất mà anh ấy đạt được $4$ tại một thời điểm nào đó trong quá trình này là $\dfrac{a}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $a+b?$ là gì (Ví dụ: anh ấy thành công nếu chuỗi lần tung của anh ấy là HTHHHHHH.)

Phép toán nhị phân $\diamond$ có các thuộc tính $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ và $a\diamond a=1$ cho tất cả các số thực khác 0 $a,$ $b,$ và $c.$ (Ở đây dấu chấm $\cdot$ biểu thị phép nhân thông thường.) Giải phương trình $2016\diamond(6\diamond x)=100$ có thể được viết là $\dfrac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. $p+q?$ là gì