AMC 12A năm 2019

diện tích của bánh pizza có bán kính $4$ inch lớn hơn $N$ phần trăm so với diện tích của bánh pizza có bán kính $3$ inch. Số nguyên gần nhất với $N?$ là bao nhiêu

Giả sử $a$ là $150\%$ của $b.$ Bao nhiêu phần trăm của $a$ là $3b?$

Một hộp chứa $28$ bi đỏ, $20$ bi xanh, $19$ bi vàng, $13$ bi xanh, $11$ bi trắng và $9$ bi đen. Số lượng bóng tối thiểu phải được rút ra khỏi hộp mà không cần thay thế là bao nhiêu để đảm bảo rằng ít nhất $15$ các quả bóng cùng màu sẽ được rút ra?

Số số nguyên liên tiếp lớn nhất có tổng là $45?$ là bao nhiêu?

Hai đường thẳng có hệ số góc $\dfrac{1}{2}$ và $2$ cắt nhau tại $(2, 2).$ diện tích của tam giác được bao bọc bởi hai đường thẳng này và đường thẳng $x + y = 10?$ là bao nhiêu?

Hình bên dưới hiển thị đường $\ell$ với mẫu hình vuông và đoạn thẳng đều đặn, vô hạn, định kỳ.



Có bao nhiêu trong số bốn loại phép biến đổi chuyển động cứng nhắc sau đây của mặt phẳng mà hình này được vẽ, ngoài phép biến đổi đồng nhất, sẽ biến hình này thành chính nó?

• một số phép quay quanh một điểm của đường $\ell$

• một số dịch chuyển theo hướng song song với đường thẳng $\ell$

• sự phản chiếu qua đường $\ell$

• một số phản xạ qua một đường thẳng vuông góc với đường thẳng $\ell$

Melanie tính toán trung bình cộng $\mu,$ trung vị $M,$ và các chế độ của các giá trị $365$ là những ngày trong tháng $2019.$ Do đó, dữ liệu của cô ấy bao gồm $12$ $1$s, $12$ $2$s, $\ldots,$ $12$ $28$s, $11$ $29$s, $11$ $30$s, và $7$ $31$s. Đặt $d$ là trung vị của các chế độ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đối với một tập hợp gồm bốn đường thẳng phân biệt trong một mặt phẳng, có chính xác $N$ điểm phân biệt nằm trên hai hoặc nhiều đường thẳng. Tổng của tất cả các giá trị có thể có của $N?$ là bao nhiêu

Một chuỗi số được xác định đệ quy bởi $a_1 = 1,$ $a_2 = \dfrac{3}{7},$ và

$$
a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}
$$

với mọi $n \ge 3.$ Khi đó $a_{2019}$ có thể được viết là $\dfrac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. $p + q?$ là gì

Hình bên dưới hiển thị $13$ vòng tròn có bán kính $1$ trong một vòng tròn lớn hơn. Tất cả các giao điểm xảy ra tại các điểm tiếp tuyến. diện tích của vùng, được tô màu trong hình, bên trong vòng tròn lớn hơn nhưng bên ngoài tất cả các vòng tròn bán kính $1?$ là gì

Đối với một số số nguyên dương $k,$ biểu diễn cơ số-$k$ lặp lại của phân số (cơ số mười) $\dfrac{7}{51}$ là $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ $k?$ là gì

Các số thực dương $x \ne 1$ và $y \ne 1$ thỏa mãn $\log_2 x = \log_y 16$ và $xy = 64.$ $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?$

Có bao nhiêu cách tô màu mỗi số nguyên $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ thành màu đỏ, lục hoặc lam sao cho mỗi số có một màu khác với mỗi ước số riêng của nó?

Đối với một số phức nhất định $c,$ thì đa thức

$$
\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}
$$

có chính xác $4$ nghiệm riêng biệt. $|c|?$ là gì

Các số thực dương $a$ và $b$ có tính chất

$$
\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}
$$

và tất cả bốn số hạng ở bên trái đều là số nguyên dương, trong đó $\log$ biểu thị logarit cơ số $10$. $ab?$ là gì

Các số $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9$ được đặt ngẫu nhiên vào các ô vuông $9$ của lưới $3 \times 3$. Mỗi ô vuông có một số và mỗi số được sử dụng một lần. xác suất mà tổng các số ở mỗi hàng và mỗi cột là số lẻ là bao nhiêu?

Đặt $s_k$ biểu thị tổng lũy thừa thứ $k$ của các nghiệm của đa thức $x^3 - 5x^2 + 8x - 13.$ Cụ thể, $s_0 = 3,$ $s_1 = 5,$ và $s_2 = 9.$ Đặt $a,$ $b,$ và $c$ là các số thực sao cho $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ cho $k = 2,$ $3,$ $\ldots.$ $a + b + c?$ là gì

Một hình cầu có tâm $O$ có bán kính $6.$ Một tam giác có các cạnh dài $15,$ $15,$ và $24$ nằm trong không gian sao cho mỗi cạnh của nó tiếp xúc với hình cầu. Khoảng cách giữa $O$ và mặt phẳng được xác định bởi tam giác là bao nhiêu?

Trong $\triangle ABC$ với độ dài cạnh nguyên,

$$
\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}
$$

chu vi ít nhất có thể cho $\triangle ABC?$ là bao nhiêu

Các số thực nằm trong khoảng từ $0$ đến $1,$ được chọn theo cách sau. Một đồng xu công bằng được tung lên. Nếu nó tiếp đất mặt ngửa thì nó sẽ được lật lại và số được chọn là $0$ nếu lần lật thứ hai là mặt ngửa và $1$ nếu lần lật thứ hai là mặt sấp. Mặt khác, nếu lần lật đồng xu đầu tiên là mặt sấp thì số đó được chọn ngẫu nhiên thống nhất từ ​​khoảng đóng $[0, 1].$ Hai số ngẫu nhiên $x$ và $y$ được chọn độc lập theo cách này. xác suất $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}?$ là gì