AMC 12C năm 2021

Giá trị của $$
\frac{(2112 - 2021)^2}{169}?
$$ là bao nhiêu

Menkara có thẻ chỉ mục $4 \times 6$. Nếu cô ấy rút ngắn chiều dài một cạnh của tấm thẻ này đi $1$ inch thì tấm thẻ sẽ có diện tích $18$ inch vuông. diện tích của thẻ sẽ tính bằng inch vuông nếu thay vào đó cô ấy rút ngắn chiều dài của mặt kia đi $1$ inch?

Ông Lopez có phương án gồm hai tuyến đường để đi làm. Tuyến đường A dài $6$ dặm và tốc độ trung bình của anh ấy dọc theo tuyến đường này là $30$ dặm một giờ. Tuyến đường B dài $5$ dặm và tốc độ trung bình của anh ấy dọc theo tuyến đường này là $40$ dặm một giờ, ngoại trừ đoạn $\tfrac{1}{2}$-dặm trong khu vực trường học nơi tốc độ trung bình của anh ấy là $20$ dặm một giờ. Tuyến B nhanh hơn Tuyến A bao nhiêu phút?

Số có sáu chữ số $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ chỉ là số nguyên tố có một chữ số $A.$ $A?$ là gì

Emu Elmer thực hiện $44$ những bước dài bằng nhau để đi giữa các cột điện thoại liên tiếp trên một con đường nông thôn. Đà điểu Oscar có thể vượt qua khoảng cách tương tự trong $12$ bước nhảy bằng nhau. Các cột điện thoại cách đều nhau và cột thứ $41$dọc theo con đường này cách cột đầu tiên đúng một dặm ($5280$ feet). Tính theo feet, bước nhảy của Oscar dài hơn sải chân của Elmer bao nhiêu?

Như thể hiện trong hình bên dưới, điểm $E$ nằm trên nửa mặt phẳng đối diện được xác định bởi đường thẳng $CD$ từ điểm $A$ sao cho $\angle CDE = 110^\circ.$ Điểm $F$ nằm trên $\overline{AD}$ sao cho $DE = DF,$ và $ABCD$ là một hình vuông. Thước đo độ của $\angle AFE?$ là gì

Một trường học có $100$ học sinh và $5$ giáo viên. Trong tiết đầu tiên, mỗi học sinh học một lớp, mỗi giáo viên dạy một lớp. Số lượng ghi danh vào các lớp là $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ và $5.$ Đặt $t$ là giá trị trung bình thu được nếu một giáo viên được chọn ngẫu nhiên và số lượng học sinh trong lớp của họ được ghi lại. Đặt $s$ là giá trị trung bình thu được nếu một học sinh được chọn ngẫu nhiên và số học sinh trong lớp của họ, bao gồm cả học sinh đó, được ghi lại. $t - s?$ là gì

Đặt $M$ là bội số ít phổ biến nhất trong tất cả các số nguyên $10$ đến $30,$. Đặt $N$ là ít phổ biến nhất bội số của $M,$ $32,$ $33,$ $34,$ $35,$ $36,$ $37,$ $38,$ $39,$ và $40.$ Giá trị của $\dfrac{N}{M}?$ là gì

Một lăng trụ đứng hình chữ nhật có bề mặt diện tích và thể tích bằng nhau về số lượng có độ dài các cạnh $\log_2 x,$ $\log_3 x,$ và $\log_4 x.$ $x?$ là gì

Biểu diễn cơ số chín của số $N$ là $27{,}006{,}000{,}052_9.$ số dư là gì khi $N$ được chia cho $5?$

Xét hai đường tròn đồng tâm có bán kính $17$ và $19.$ Đường tròn lớn hơn có một dây cung, một nửa dây nằm bên trong đường tròn nhỏ hơn. Độ dài của dây trong vòng tròn lớn hơn là bao nhiêu?

Số số hạng có hệ số hữu tỷ trong số các số hạng $1001$ trong khai triển của $$
\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?
$$ là bao nhiêu?

Đường phân giác của góc nhọn tạo thành tại gốc bởi đồ thị của các đoạn thẳng $y = x$ và $y = 3x$ có phương trình $y = kx.$ $k?$

Trong hình, hình lục giác đều $ABCDEF$ có ba góc trong không liền kề nhau, mỗi góc có số đo $30^\circ.$ diện tích bao quanh của hình lục giác là $6\sqrt{3}.$ chu vi của hình lục giác là gì?

Hãy nhớ lại rằng liên hợp của số phức $w = a + bi,$ trong đó $a$ và $b$ là số thực và $i = \sqrt{-1},$ là số phức $\overline{w} = a - bi.$ Với mọi số phức $z,$ hãy để $f(z) = 4i\overline{z}.$ Đa thức $$
P(z) = z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1
$$ có bốn nghiệm phức: $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ và $z_4.$ Giả sử $$
\begin{aligned} &Q(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 \\ &\quad {}+ Cz + D \end{aligned}
$$ là đa thức có nghiệm là $f(z_1),$ $f(z_2),$ $f(z_3),$ và $f(z_4),$ trong đó các hệ số $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ là số phức. $B + D?$ là gì

Một tổ chức có $30$ nhân viên, $20$ trong số họ có máy tính nhãn hiệu A trong khi $10$ còn lại có máy tính nhãn hiệu B. Để bảo mật, các máy tính chỉ có thể được kết nối với nhau và chỉ bằng cáp. Cáp chỉ có thể kết nối máy tính nhãn hiệu A với máy tính nhãn hiệu B. Nhân viên có thể liên lạc với nhau nếu máy tính của họ được kết nối trực tiếp bằng cáp hoặc bằng cách chuyển tiếp tin nhắn qua một loạt máy tính được kết nối. Ban đầu, không có máy tính nào được kết nối với bất kỳ máy tính nào khác. Kỹ thuật viên tùy ý chọn một máy tính của mỗi nhãn hiệu và lắp đặt cáp giữa chúng với điều kiện chưa có cáp giữa cặp đó. Kỹ thuật viên dừng lại khi mọi nhân viên có thể giao tiếp với nhau. Số lượng cáp tối đa có thể được sử dụng là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(b, c)$ mà cả $x^2 + bx + c = 0$ và $x^2 + cx + b = 0$ đều không có hai nghiệm thực phân biệt?

Mỗi quả bóng $20$ được ném độc lập và ngẫu nhiên vào một trong các thùng $5$. Giả sử $p$ là xác suất mà một số thùng chứa các quả bóng $3$, một thùng khác có các quả bóng $5$ và ba thùng còn lại có các quả bóng $4$. Đặt $q$ là xác suất mà mỗi thùng đều có $4$ quả bóng. $\dfrac{p}{q}?$ là gì

Đặt $x$ là số thực nhỏ nhất lớn hơn $1$ sao cho $\sin(x) = \sin(x^2),$ trong đó các đối số tính bằng độ. $x$ được làm tròn lên số nguyên gần nhất là bao nhiêu?

Với mỗi số nguyên dương $n,$ đặt $f_1(n)$ gấp đôi số ước số nguyên dương của $n,$ và với $j \ge 2,$ đặt $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ Với bao nhiêu giá trị của $n \le 50$ là $f_{50}(n) = 12?$