AMC 12A năm 2021

Giá trị của $$
2^{1+2+3} - \left(2^1 + 2^2 + 2^3\right)?
$$ là bao nhiêu

Trong điều kiện nào $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ là đúng, trong đó $a$ và $b$ là số thực?

Tổng của hai số tự nhiên là $17{,}402.$ Một trong hai số là chia hết cho $10.$ Nếu xóa chữ số hàng đơn vị của số đó thì thu được số còn lại. Sự khác biệt của hai con số này là gì?

Tom có một bộ sưu tập $13$ rắn, $4$ trong số đó có màu tím và $5$ trong số đó là hạnh phúc. Anh ấy quan sát rằng

• tất cả những con rắn hạnh phúc của anh ấy có thể thêm vào,

• không con rắn tím nào của ngài có thể trừ được, và

• tất cả những con rắn của ông không trừ được cũng không cộng được.

Kết luận nào sau đây có thể được rút ra về những con rắn của Tom?

Khi một học sinh nhân số $66$ với số thập phân lặp lại $$
1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,
$$ trong đó $a$ và $b$ là các chữ số, cậu ấy không chú ý đến ký hiệu và chỉ nhân $66$ với số thập phân hữu hạn $1.ab.$ Sau đó cậu ấy phát hiện ra rằng câu trả lời của mình là $0.5$ ít hơn câu trả lời đúng.

Số nguyên có hai chữ số $\overline{ab}?$ là gì

Một bộ bài chỉ có thẻ đỏ và thẻ đen. xác suất của lá bài được chọn ngẫu nhiên có màu đỏ là $\dfrac13.$ Khi $4$ lá bài đen được thêm vào bộ bài, xác suất của lá bài chọn màu đỏ sẽ trở thành $\dfrac14.$ Ban đầu có bao nhiêu lá bài trong bộ bài?

Giá trị nhỏ nhất có thể có của $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ đối với số thực $x$ và $y?$

Một chuỗi số được xác định bởi $D_0 = 0,$ $D_1 = 0,$ $D_2 = 1,$ và $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ cho $n \ge 3.$ Các số chẵn lẻ (chẵn hoặc lẻ) của bộ ba số $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),$ trong đó $E$ biểu thị số chẵn và $O$ biểu thị số lẻ?

Điều nào sau đây tương đương với $$
\begin{aligned} &(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4) \\ &\quad {}\cdot (2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16}) \\ &\quad {}\cdot (2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})? \end{aligned}
$$

Hai hình nón tròn bên phải có đỉnh hướng xuống dưới như hình bên chứa cùng một lượng chất lỏng. Bán kính đỉnh của bề mặt chất lỏng là $3$ cm và $6$ cm. Vào mỗi hình nón được thả một viên bi hình cầu có bán kính $1$ cm, chìm xuống đáy và ngập hoàn toàn mà không làm đổ bất kỳ chất lỏng nào. Tỉ lệ giữa mực chất lỏng dâng lên trong hình nón hẹp và mực chất lỏng dâng lên trong hình nón rộng là bao nhiêu?

Một tia laser được đặt tại điểm $(3, 5).$ Chùm tia laser truyền theo đường thẳng. Larry muốn chùm tia chạm và bật ra khỏi trục $y$, sau đó chạm và bật ra khỏi trục $x$, sau đó chạm vào điểm $(7, 5).$ Tổng quãng đường mà chùm tia sẽ truyền dọc theo đường đi này là bao nhiêu?

Tất cả các nghiệm của đa thức $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ đều là số nguyên dương, có thể lặp lại. Giá trị của $B?$ là bao nhiêu

Trong các số phức sau đây $z,$ số nào có tính chất mà $z^5$ có phần thực lớn nhất?

Giá trị của $$
\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)? \end{aligned}
$$ là bao nhiêu

Người chỉ huy dàn hợp xướng phải chọn một nhóm ca sĩ trong số $6$ giọng nam cao và $8$ giọng trầm của mình. Yêu cầu duy nhất là sự khác biệt giữa số lượng giọng nam cao và âm trầm phải là bội số của $4,$ và nhóm phải có ít nhất một ca sĩ. Đặt $N$ là số nhóm có thể được chọn. số dư là gì khi $N$ được chia cho $100?$

Trong danh sách số sau đây, số nguyên $n$ xuất hiện $n$ lần trong danh sách của $1 \le n \le 200.$ $1,$ $2,$ $2,$ $3,$ $3,$ $3,$ $4,$ $4,$ $4,$ $4,$ $\ldots,$ $200,$ $200,$ $\ldots,$ $200$

trung vị của các số trong danh sách này là gì?

hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD,$ $BC = CD = 43,$ và $AD \perp BD.$ Đặt $O$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD,$ và đặt $P$ là điểm giữa của $BD.$ Cho rằng $OP = 11,$ độ dài $AD$ có thể được viết dưới dạng $m\sqrt n,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $m + n?$ là gì

Giả sử $f$ là một hàm được xác định trên tập hợp các số hữu tỉ dương có thuộc tính $f(a\cdot b) = f(a) + f(b)$ cho tất cả các số hữu tỉ dương $a$ và $b.$ Giả sử rằng $f$ cũng có thuộc tính $f(p) = p$ cho mọi số nguyên tố $p.$ Cho số nào trong các số sau $x$ là $f(x) \lt 0?$

Phương trình $$
\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right)
$$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng đóng $[0, \pi]?$

Giả sử rằng trên một parabol có đỉnh $V$ và tiêu điểm $F$ tồn tại một điểm $A$ sao cho $AF = 20$ và $AV = 21.$ Tổng của tất cả các giá trị có thể có của độ dài $FV?$ là bao nhiêu?