AMC 12A năm 2022

Giá trị của là gì

$$
3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\frac13}}?
$$

Tổng của ba số là $96.$ Số thứ nhất là $6$ lần số thứ ba và số thứ ba là $40$ nhỏ hơn số thứ hai. Giá trị tuyệt đối của hiệu giữa số thứ nhất và số thứ hai là bao nhiêu?

Năm hình chữ nhật, $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E,$ được sắp xếp thành hình vuông như minh họa bên dưới. Các hình chữ nhật này có kích thước lần lượt là $1\times6,$ $2\times4,$ $5\times6,$ $2\times7,$ và $2\times3,$. (Hình không được vẽ theo tỷ lệ.) Hình nào trong năm hình chữ nhật được tô màu ở giữa?

bội số ít phổ biến nhất của số nguyên dương $n$ và $18$ là $180,$ và ước chung lớn nhất của $n$ và $45$ là $15.$ Tổng các chữ số của $n?$

Đặt *khoảng cách taxi* giữa các điểm $(x_1,y_1)$ và $(x_2,y_2)$ trong mặt phẳng tọa độ được tính bằng $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ Với bao nhiêu điểm $P$ có tọa độ nguyên là khoảng cách taxi giữa $P$ và gốc nhỏ hơn hoặc bằng $20?$

Một tập dữ liệu bao gồm $6$ (không khác biệt) số nguyên dương: $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ và $X.$ Trung bình (số học trung bình cộng) của Các số $6$ bằng một giá trị trong tập dữ liệu. Tổng của tất cả các giá trị dương của $X?$ là bao nhiêu

Một hình chữ nhật được phân vùng thành các vùng $5$ như được hiển thị. Mỗi vùng phải được sơn một màu đồng nhất - đỏ, cam, vàng, xanh lam hoặc xanh lục - để các vùng chạm vào được sơn các màu khác nhau và các màu có thể được sử dụng nhiều lần. Có thể có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Sản phẩm vô hạn

$$
\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots
$$

đánh giá thành một số thực. Con số đó là gì?

Vào ngày Halloween $31$ trẻ em bước vào văn phòng hiệu trưởng để xin kẹo. Họ có thể được chia thành ba loại: một số luôn nói dối; một số luôn nói sự thật; và một số thay phiên nhau nói dối và nói sự thật. Những người thay thế tùy ý chọn câu trả lời đầu tiên của họ, là lời nói dối hoặc sự thật, nhưng mỗi tuyên bố tiếp theo có giá trị sự thật ngược lại với câu trả lời trước đó. Hiệu trưởng hỏi mọi người ba câu hỏi giống nhau theo thứ tự này.

“Bạn có phải là người nói sự thật không?” Hiệu trưởng tặng một viên kẹo cho mỗi em $22$ trả lời có.

“Bạn có phải là người thay thế không?” Hiệu trưởng tặng một viên kẹo cho mỗi em $15$ trả lời có.

“Anh có phải là kẻ nói dối không?” Hiệu trưởng tặng một viên kẹo cho mỗi em $9$ trả lời có.

Hỏi hiệu trưởng đã tặng tổng cộng bao nhiêu viên kẹo cho những em luôn nói thật?

Có bao nhiêu cách chia các số từ $1$ đến $14$ thành các cặp $7$ sao cho đối với mỗi cặp, số lớn hơn là ít nhất $2$ lần số nhỏ hơn?

Tích của tất cả các số thực $x$ sao cho khoảng cách trên trục số giữa $\log_6 x$ và $\log_6 9$ gấp đôi khoảng cách trên trục số giữa $\log_6 10$ và $1?$

Đặt $M$ là trung điểm của $\overline{AB}$ trong tứ diện đều $ABCD.$ $\cos(\angle CMD)?$ là gì

Đặt $\mathcal{R}$ là vùng trong mặt phẳng phức bao gồm tất cả các số phức $z$ có thể được viết dưới dạng tổng của các số phức $z_1$ và $z_2,$ trong đó $z_1$ nằm trên đoạn có điểm cuối $3$ và $4i,$ và $z_2$ có độ lớn nhiều nhất $1.$ Số nguyên nào gần nhất với diện tích của $\mathcal{R}?$

Giá trị của là gì

$$
\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}
$$

trong đó $\log$ biểu thị logarit cơ số mười?

Các nghiệm của đa thức $10x^3-39x^2+29x-6$ là chiều cao, chiều dài và chiều rộng của hình hộp chữ nhật (lăng kính chữ nhật bên phải). Một hộp hình chữ nhật mới được hình thành bằng cách kéo dài mỗi cạnh của hộp ban đầu thêm $2$ đơn vị. thể tích của hộp mới là gì?

*Số tam giác* là số nguyên dương có thể được biểu thị dưới dạng $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ đối với một số nguyên dương $n.$ Ba số tam giác nhỏ nhất cũng là số chính phương là $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ và $t_{49}=1225=35^2.$ Tổng các chữ số của số tam giác nhỏ thứ tư cũng là số a là bao nhiêu? số chính phương?

Giả sử $a$ là một số thực sao cho phương trình

$$
a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)
$$

có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng $(0,\pi).$ Tập hợp tất cả $a$ như vậy có thể được viết dưới dạng $(p,q)\cup(q,r),$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số thực với $p\lt q\lt r.$ $p+q+r?$

Đặt $T_k$ là phép biến đổi của mặt phẳng tọa độ, đầu tiên quay mặt phẳng $k$ độ ngược chiều kim đồng hồ xung quanh gốc tọa độ và sau đó phản chiếu mặt phẳng qua trục $y$. Số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho việc thực hiện chuỗi biến đổi $T_1,$ $T_2,$ $T_3,$ $\ldots,$ $T_n$ trả về điểm $(1,0)$ trở lại chính nó là bao nhiêu?

Giả sử rằng $13$ thẻ được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $13$ được sắp xếp thành một hàng. Nhiệm vụ là nhặt chúng theo thứ tự tăng dần về số lượng, lặp đi lặp lại từ trái sang phải. Trong ví dụ bên dưới, các thẻ $1,$ $2,$ $3$ được chọn ở lần vượt qua đầu tiên, $4$ và $5$ ở lần vượt qua thứ hai, $6$ ở lần vượt qua thứ ba, $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ở lần vượt qua thứ tư và $11,$ $12,$ $13$ ở lần vượt qua thứ năm. Có bao nhiêu thứ tự $13!$ có thể có của các thẻ thì các thẻ $13$ sẽ được nhặt trong đúng hai lần?

Cân hình thang $ABCD$ có các cạnh song song $\overline{AD}$ và $\overline{BC},$ với $BC\lt AD$ và $AB=CD.$ Có một điểm $P$ trong mặt phẳng sao cho $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ và $PD=4.$ $\dfrac{BC}{AD}?$ là gì