Các góc nhọn của tam giác vuông là $a^\circ$ và $b^\circ,$ trong đó $a \gt b$ và cả $a$ và $b$ đều là số nguyên tố. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $b?$ là bao nhiêu
Các đội $A$ và $B$ đang thi đấu trong một giải bóng rổ trong đó mỗi trận đấu mang lại một chiến thắng cho một đội và một đội thua. Đội $A$ đã thắng $\tfrac23$ trong số trò chơi của mình và đội $B$ đã thắng $\tfrac58$ trong số trò chơi của mình. Ngoài ra, đội $B$ đã thắng $7$ nhiều trận hơn và thua $7$ nhiều trận hơn đội $A.$ Đội $A$ đã chơi bao nhiêu trận?
Hai đường thẳng không nằm ngang, không thẳng đứng trong mặt phẳng tọa độ $xy$ giao nhau để tạo thành một góc $45^\circ$. Một đường có độ dốc bằng $6$ lần độ dốc của đường kia. Giá trị lớn nhất có thể có của tích hệ số góc của hai đường thẳng là bao nhiêu?
Một phần ba phần tư của hình tròn có bán kính $4$ inch cùng với phần bên trong của nó có thể được cuộn lại để tạo thành bề mặt bên của hình nón tròn bên phải bằng cách dán lại với nhau dọc theo hai bán kính như hình minh họa. thể tích của hình nón tính bằng inch khối là bao nhiêu?
Trong hình vuông đơn vị $ABCD,$ đường tròn nội tiếp $\omega$ cắt $\overline{CD}$ tại $M,$ và $\overline{AM}$ cắt $\omega$ tại một điểm $P$ khác với $M.$ $AP?$
Như thể hiện trong hình bên dưới, sáu hình bán nguyệt nằm bên trong một hình lục giác đều có chiều dài cạnh $2$ sao cho đường kính của hình bán nguyệt trùng với các cạnh của hình lục giác. diện tích của vùng được tô bóng—bên trong hình lục giác nhưng bên ngoài tất cả các hình bán nguyệt là gì?
Đặt $\overline{AB}$ là đường kính trong một đường tròn bán kính $5\sqrt2.$ Đặt $\overline{CD}$ là một dây cung trong đường tròn cắt $\overline{AB}$ tại một điểm $E$ sao cho $BE = 2\sqrt5$ và $\angle AEC = 45^\circ.$ $CE^2 + DE^2?$
Bela và Jenn chơi trò chơi sau trên khoảng đóng $[0, n]$ của dãy số thực, trong đó $n$ là một số nguyên cố định lớn hơn $4.$ Họ thay phiên nhau chơi, Bela sẽ chơi trước. Ở lượt đầu tiên của mình, Bela chọn bất kỳ số thực nào trong khoảng $[0, n].$ Sau đó, người chơi ở lượt đó sẽ chọn một số thực cách xa tất cả các số mà một trong hai người chơi đã chọn trước đó nhiều hơn một đơn vị. Người chơi không chọn được số như vậy sẽ thua. Sử dụng chiến lược tối ưu, người chơi nào sẽ giành chiến thắng trong trò chơi?
Có $10$ người đứng cách đều nhau quanh một vòng tròn. Mỗi người biết chính xác $3$ của $9$ người khác: $2$ những người đứng cạnh cô ấy hoặc anh ấy, cũng như người ngay đối diện vòng tròn. Có bao nhiêu cách để $10$ người chia thành các cặp $5$ để các thành viên của mỗi cặp biết nhau?
Một chiếc bình chứa một quả bóng màu đỏ và một quả bóng màu xanh. Một hộp đựng thêm những quả bóng màu đỏ và xanh nằm gần đó. George thực hiện thao tác sau bốn lần: anh ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ bình và sau đó lấy một quả bóng cùng màu từ hộp và trả lại hai quả bóng giống nhau đó vào bình. Sau bốn lần lặp lại, chiếc bình chứa sáu quả bóng. xác suất mà chiếc bình chứa ba quả bóng mỗi màu là gì?
Có bao nhiêu đa thức có dạng $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$ $+ 2020,$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là số thực, có tính chất là bất cứ khi nào $r$ là nghiệm thì $\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\cdot r?$ (Lưu ý rằng $i = \sqrt{-1}.$)
Trong hình vuông $ABCD,$ điểm $E$ và $H$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{DA},$ sao cho $AE = AH.$ Điểm $F$ và $G$ nằm trên $\overline{BC}$ và $\overline{CD},$ tương ứng và các điểm $I$ và $J$ nằm trên $\overline{EH}$ sao cho $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ và $\overline{GJ} \perp \overline{EH}.$ Xem hình bên dưới. Tam giác $AEH,$ tứ giác $BFIE,$ tứ giác $DHJG,$ và ngũ giác $FCGJI$ mỗi hình có diện tích $1.$ $FI^2?$ là gì
Hình vuông $ABCD$ trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh tại các điểm $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ và $D(1, -1).$ Xét bốn phép biến đổi sau:
$L,$ xoay $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
$R,$ xoay $90^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
$H,$ một sự phản chiếu qua trục $x$; và
$V,$ một sự phản ánh qua trục $y$.
Mỗi phép biến đổi này ánh xạ hình vuông lên chính nó, nhưng vị trí của các đỉnh được dán nhãn sẽ thay đổi. Ví dụ: áp dụng $R$ và sau đó $V$ sẽ gửi đỉnh $A$ tại $(1, 1)$ tới $(-1, -1)$ và sẽ gửi đỉnh $B$ tại $(-1, 1)$ tới chính nó. Có bao nhiêu chuỗi phép biến đổi $20$ được chọn từ $\{L, R, H, V\}$ sẽ đưa tất cả các đỉnh được gắn nhãn trở lại vị trí ban đầu của chúng? (Ví dụ: $R,$ $R,$ $V,$ $H$ là một chuỗi các phép biến đổi $4$ sẽ đưa các đỉnh trở lại vị trí ban đầu của chúng.)
Hai khối lập phương khác nhau có cùng kích thước sẽ được sơn, màu của mỗi mặt được chọn độc lập và ngẫu nhiên là đen hoặc trắng. xác suất mà sau khi được sơn, các hình khối có thể được xoay để có hình dạng giống hệt nhau là gì?
