Ngân hàng câu hỏi AMC12 1998

Mỗi cạnh của năm hình chữ nhật bằng nhau được gắn nhãn bằng một số nguyên, như được hiển thị. Năm hình chữ nhật này được đặt mà không xoay hoặc phản chiếu ở các vị trí $I$ đến $V$ sao cho các nhãn trên các cạnh trùng nhau đều bằng nhau. Hình chữ nhật nào ở vị trí $I?$

Các chữ cái $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ đại diện cho bốn chữ số khác nhau được chọn từ $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9.$ Nếu $\frac{A+B}{C+D}$ là một số nguyên càng lớn càng tốt, giá trị của $A+B?$ là bao nhiêu

Nếu $a,$ $b,$ và $c$ là các chữ số mà $$
\begin{array}{r} 7a2\\ {}-48b\\ \hline c73 \end{array}
$$ thì $a+b+c=$

Xác định $[a,b,c]$ đến trung bình cộng $\frac{a+b}{c},$ trong đó $c\ne0.$ Giá trị của $$
[[60,30,90],[2,1,3],[10,5,15]]?
$$ là bao nhiêu

Nếu $2^{1998}-2^{1997}$ ${}-2^{1996}+2^{1995}$ $=k\cdot2^{1995},$ giá trị của $k?$ là bao nhiêu

Nếu $1998$ được viết dưới dạng tích của hai số nguyên dương có hiệu nhỏ nhất có thể, thì hiệu là

Nếu $N\gt1,$ thì $$
\sqrt[3]{N\sqrt[3]{N\sqrt[3]{N}}}=
$$

Một hình vuông có các cạnh dài $1$ được chia thành hai hình thang bằng nhau và một hình ngũ giác, có diện tích bằng nhau, bằng cách nối tâm hình vuông với các điểm trên ba cạnh, như được hiển thị. Tìm $x,$ độ dài của cạnh song song dài hơn của mỗi hình thang.

Một diễn giả đã nói chuyện trong sáu mươi phút trước một khán phòng đầy đủ. Hai mươi phần trăm khán giả đã nghe toàn bộ buổi nói chuyện và mười phần trăm đã ngủ suốt toàn bộ buổi nói chuyện. Một nửa số dư nghe được 1/3 cuộc nói chuyện và nửa còn lại nghe được 2/3 cuộc nói chuyện. Số phút trung bình của bài nói mà khán giả được nghe là bao nhiêu?

Một hình vuông lớn được chia thành một hình vuông nhỏ được bao quanh bởi bốn hình chữ nhật bằng nhau như hình. chu vi của mỗi hình chữ nhật bằng nhau là $14.$ diện tích của hình vuông lớn là gì?

Đặt $R$ là một hình chữ nhật. Có bao nhiêu đường tròn trong mặt phẳng $R$ có đường kính mà cả hai điểm cuối đều là đỉnh của $R?$

Có bao nhiêu số nguyên tố khác nhau là thừa số của $N$ nếu $$
\log_2(\log_3(\log_5(\log_7N)))=11?
$$

Walter tung bốn viên xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn và thấy rằng tích của các số ở các mặt trên là $144.$ Số nào sau đây không thể là tổng của bốn mặt trên?

Một parabol có đỉnh tại $(4,-5)$ và có hai đoạn chặn $x$, một dương và một âm. Nếu parabol này là đồ thị của $y=ax^2+bx+c,$ thì đồ thị nào trong số $a,$ $b,$ và $c$ phải dương?

Hình lục giác đều và tam giác đều có diện tích bằng nhau. Tỉ số giữa độ dài một cạnh của tam giác và độ dài một cạnh của hình lục giác là bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa là sự kết hợp của một đường tròn và hai hình bán nguyệt có đường kính $a$ và $b,$ tất cả đều có tâm thẳng hàng. Tỷ lệ của diện tích của vùng được tô bóng so với vùng không được tô bóng là

Đặt $f(x)$ là một hàm có hai thuộc tính:

(a) với hai số thực bất kỳ $x$ và $y,$ $f(x+y)=x+f(y),$ và

(b) $f(0)=2.$

Giá trị của $f(1998)?$ là bao nhiêu

Hình nón tròn bên phải thể tích $A,$ hình trụ tròn bên phải thể tích $M,$ và hình cầu thể tích $C$ đều có cùng bán kính và chiều cao chung của hình nón và hình trụ bằng đường kính của hình cầu. Sau đó

Có bao nhiêu hình tam giác có diện tích $10$ và các đỉnh tại $(-5,0),$ $(5,0),$ và $(5\cos\theta,5\sin\theta)$ đối với một số góc $\theta?$

Ba tấm thẻ, mỗi tấm có ghi một số nguyên dương, nằm úp xuống bàn. Casey, Stacy và Tracy được thông báo rằng

(a) các số đều khác nhau,

(b) chúng có tổng bằng $13,$ và

(c) chúng được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải.

Đầu tiên, Casey nhìn vào con số ở tấm thẻ ngoài cùng bên trái và nói: “Tôi không có đủ thông tin để xác định hai con số còn lại”. Sau đó Tracy nhìn vào con số ở tấm thẻ ngoài cùng bên phải và nói: “Tôi không có đủ thông tin để xác định hai con số còn lại”. Cuối cùng, Stacy nhìn vào con số ở tấm thẻ ở giữa và nói: “Tôi không có đủ thông tin để xác định hai con số còn lại”. Giả sử rằng mỗi người đều biết lý do của hai người kia một cách hoàn hảo và nghe được ý kiến ​​của họ. Thẻ ở giữa là số mấy?