AMC 12A năm 2020

Carlos đã lấy $70\%$ nguyên một chiếc bánh. Maria lấy một phần ba số dư. Phần nào của toàn bộ chiếc bánh còn lại?

Từ viết tắt AMC được hiển thị trong lưới hình chữ nhật bên dưới với các đường lưới cách nhau $1$ đơn vị. Theo đơn vị, tổng độ dài của các đoạn đường tạo thành từ viết tắt AMC là bao nhiêu?

Một người lái xe di chuyển trong $2$ giờ với tốc độ $60$ dặm một giờ, trong thời gian đó ô tô của cô ấy đạt được $30$ dặm cho mỗi gallon xăng. Cô ấy được trả $\$0.50$ mỗi dặm và chi phí duy nhất của cô ấy là xăng ở mức $\$2.00$ mỗi gallon. Mức lương ròng của cô ấy là bao nhiêu, tính bằng đô la một giờ, sau chi phí này?

Có bao nhiêu số nguyên dương $4$-chữ số (nghĩa là các số nguyên nằm giữa $1000$ và $9999,$) chỉ có các chữ số chẵn là chia hết cho $5?$

Các số nguyên $25$ từ $-10$ đến $14,$ có thể được sắp xếp để tạo thành một hình vuông $5$-by-$5$ trong đó tổng các số trong mỗi hàng, tổng các số trong mỗi cột và tổng các số dọc theo mỗi đường chéo chính đều giống nhau. Giá trị của số tiền chung này là bao nhiêu?

Trong hình mặt phẳng hiển thị bên dưới, $3$ của các ô vuông đơn vị đã được tô bóng. Hỏi số hình vuông đơn vị bổ sung ít nhất phải được tô màu để hình thu được có hai trục đối xứng là bao nhiêu?

Bảy khối có thể tích là $1,$ $8,$ $27,$ $64,$ $125,$ $216,$ và $343$ đơn vị khối, được xếp chồng lên nhau theo chiều dọc để tạo thành một tòa tháp trong đó thể tích của các khối giảm dần từ dưới lên trên hàng đầu. Ngoại trừ khối dưới cùng, mặt dưới của mỗi khối nằm hoàn toàn trên khối bên dưới nó. Tổng bề mặt diện tích của tháp (bao gồm cả đáy) trong đơn vị vuông là bao nhiêu?

trung vị của danh sách các số $4040$ sau đây là gì?

$1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $2020,$ $1^2,$ $2^2,$ $3^2,$ $\ldots,$ $2020^2$

Phương trình $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0, 2\pi]?$

Có một số nguyên dương duy nhất $n$ sao cho $$
\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).
$$

Tổng các chữ số của $n?$ là bao nhiêu

Một con ếch ngồi ở điểm $(1, 2)$ bắt đầu một chuỗi các bước nhảy, trong đó mỗi bước nhảy song song với một trong các trục tọa độ và có độ dài $1,$ và hướng của mỗi bước nhảy (lên, xuống, phải hoặc trái) được chọn độc lập một cách ngẫu nhiên. Trình tự kết thúc khi con ếch đến một cạnh của hình vuông có các đỉnh $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ và $(4, 0).$ xác suất mà chuỗi các bước nhảy kết thúc ở một cạnh thẳng đứng của hình vuông là gì?

Đường thẳng $\ell$ trong mặt phẳng tọa độ có phương trình $3x - 5y + 40 = 0.$ Đường thẳng này được quay $45^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ về điểm $(20, 20)$ để thu được đường thẳng $k.$ Tọa độ $x$ của $x$-chặn dòng $k?$

Có các số nguyên $a,$ $b,$ và $c,$ mỗi số lớn hơn $1,$ sao cho $$
\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}
$$ với mọi $N \gt 1.$ $b?$ là gì

Hình bát giác đều $ABCDEFGH$ có diện tích $n.$ Đặt $m$ là diện tích của tứ giác $ACEG.$ $\dfrac{m}{n}?$ là gì

Trong mặt phẳng phức, đặt $A$ là tập nghiệm của $z^3 - 8 = 0$ và đặt $B$ là tập nghiệm của $z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.$ Khoảng cách lớn nhất giữa một điểm của $A$ và một điểm của $B?$ là bao nhiêu?

Một điểm được chọn ngẫu nhiên bên trong hình vuông trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh là $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ và $(0, 2020).$ xác suất mà điểm nằm trong $d$ đơn vị của một điểm mạng là $\tfrac12.$ (A point $(x, y)$ là một điểm mạng nếu $x$ và $y$ đều là số nguyên.) $d$ đến phần mười gần nhất là bao nhiêu?

Các đỉnh của một tứ giác nằm trên đồ thị $y = \ln x,$ và tọa độ $x$ của các đỉnh này là các số nguyên dương liên tiếp. diện tích của tứ giác là $\ln\dfrac{91}{90}.$ Tọa độ $x$ của đỉnh ngoài cùng bên trái là gì?

Tứ giác $ABCD$ thỏa $\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ,$ $AC = 20,$ và $CD = 30.$ Đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $E,$ và $AE = 5.$ diện tích của tứ giác $ABCD?$

Tồn tại một dãy số nguyên không âm tăng dần duy nhất $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ sao cho $$
\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.
$$ $k?$

Giả sử $T$ là tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh $(0, 0),$ $(4, 0),$ và $(0, 3).$ Xét năm phép đẳng cự (biến đổi cứng) sau đây của mặt phẳng: phép quay của $90^\circ,$ $180^\circ,$ và $270^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ xung quanh điểm gốc, sự phản chiếu trên trục $x$ và sự phản chiếu trên trục $y$. Có bao nhiêu chuỗi $125$ của ba phép biến đổi này (không nhất thiết phải khác biệt) sẽ đưa $T$ về vị trí ban đầu? (Ví dụ: xoay $180^\circ$, theo sau là phản xạ qua trục $x$, tiếp theo là phản xạ qua trục $y$ sẽ đưa $T$ về vị trí ban đầu của nó, nhưng xoay $90^\circ$, theo sau là phản xạ qua trục $x$, theo sau là một phản xạ khác trên trục Trục $x$ sẽ không đưa $T$ về vị trí ban đầu của nó.)