Ngân hàng câu hỏi AMC12 1983

Nếu $x\ne0,$ $\frac{x}{2}=y^2$ và $\frac{x}{4}=4y,$ thì $x$ bằng

Điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $C$ trên mặt phẳng. nhiều nhất có bao nhiêu điểm trên $C$ cách $3$ cm từ $P?$

Ba số nguyên tố $p,$ $q$ và $r,$ thỏa mãn $p+q=r$ và $1\lt p\lt q.$ Khi đó $p$ bằng

Trong hình phẳng liền kề, các cạnh $AF$ và $CD$ song song với nhau, cũng như các cạnh $AB$ và $FE,$ và các cạnh $BC$ và $ED.$ Mỗi cạnh có độ dài $1.$ Ngoài ra, $\angle FAB=\angle BCD=60^\circ.$ diện tích của hình là

Tam giác $ABC$ có một góc vuông tại $C.$ Nếu $\sin A=\frac23,$ thì $\tan B$ là

Khi $x^5,$ $x+\frac1x$ và $1+\frac2x+\frac3{x^3}$ được nhân với nhau, tích sẽ là đa thức bậc

Alice bán một mặt hàng với giá $\$10$ thấp hơn giá niêm yết và nhận được $10\%$ giá bán như hoa hồng. Bob bán cùng một mặt hàng với giá $\$20$ thấp hơn giá niêm yết và nhận được $20\%$ tiền hoa hồng từ giá bán của mình. Nếu cả hai đều nhận được hoa hồng như nhau thì giá niêm yết là

Đặt $f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$ Khi đó với $x^2\ne1,$ $f(-x)$ là

Trong một dân số nhất định, tỷ lệ giữa số lượng phụ nữ và số lượng nam giới là $11$ đến $10.$ Nếu tuổi trung bình (số học trung bình cộng) của phụ nữ là $34$ và độ tuổi trung bình của nam giới là $32,$ thì độ tuổi trung bình của dân số là

Đoạn $AB$ vừa là đường kính của một đường tròn bán kính $1$ vừa là một cạnh của tam giác đều $ABC.$ Đường tròn cũng cắt $AC$ và $BC$ tại các điểm $D$ và $E,$ tương ứng. Độ dài của $AE$ là

Rút gọn $\sin(x-y)\cos y$${}+\cos(x-y)\sin y.$

Nếu $\log_7(\log_3(\log_2x))=0,$ thì $x^{-\frac{1}{2}}$ bằng

Nếu $xy=a,$ $xz=b,$ và $yz=c,$ và không có đại lượng nào trong số này là $0,$ thì $x^2+y^2+z^2$ bằng

chữ số hàng đơn vị của $3^{1001}7^{1002}13^{1003}$ là

Ba quả bóng được đánh dấu $1,$ $2$ và $3$ được đặt trong một chiếc bình. Một quả bóng được rút ra, số của nó được ghi lại và sau đó quả bóng được đưa trở lại bình. Quá trình này được lặp đi lặp lại một lần nữa và mỗi quả bóng đều có khả năng được rút ra như nhau trong mỗi trường hợp. Nếu tổng các số được ghi là $6,$ thì xác suất mà quả bóng được đánh số $2$ được rút ra cả ba lần là bao nhiêu?

Đặt $$
\begin{aligned} x&=0.123456789101112\\ &\phantom{={}}\ldots998999, \end{aligned}
$$ trong đó các chữ số thu được bằng cách viết các số nguyên $1$ đến $999$ theo thứ tự. Chữ số thứ $1983$ở bên phải dấu thập phân là

Sơ đồ bên phải thể hiện một số số trong mặt phẳng phức. Đường tròn là đường tròn đơn vị có tâm tại gốc tọa độ. Một trong những số này là nghịch đảo của $F.$ Số nào?

Giả sử $f$ là một hàm đa thức sao cho, với mọi số thực $x,$ $$
f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.
$$ Với mọi $x,$ $f(x^2-1)$ là

Điểm $D$ nằm trên cạnh $CB$ của tam giác $ABC.$ Nếu $\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,$ $AC=3$ và $AB=6,$ thì độ dài của $AD$ là

Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là nghiệm của $x^2-px+q=0,$ và $\cot\alpha$ và $\cot\beta$ là nghiệm của $x^2-rx+s=0,$ thì $rs$ nhất thiết phải