Ngân hàng câu hỏi AMC12 2008

Một chủ tiệm bánh bật máy làm bánh rán của mình vào lúc $8\!:\!30$ sáng. Vào lúc $11\!:\!10$ sáng, máy đã hoàn thành 1/3 công việc trong ngày. Máy làm bánh rán sẽ hoàn thành công việc vào thời điểm nào?

Nghịch đảo của $$
\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}?
$$ là gì

Giả sử rằng $\tfrac{2}{3}$ của $10$ chuối có giá trị bằng $8$ quả cam. Có bao nhiêu quả cam có giá trị bằng $\tfrac{1}{2}$ của $5$ quả chuối?

Giá trị nào sau đây bằng tích $$
\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004}? \end{aligned}
$$

Giả sử rằng $$
\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}
$$ là một số nguyên. Câu nào sau đây phải đúng về $x?$

Heather so sánh giá của một chiếc máy tính mới ở hai cửa hàng khác nhau. Cửa hàng A giảm giá $15\%$ trên giá nhãn dán, sau đó giảm giá $\$90$ và cửa hàng B giảm giá $25\%$ cùng mức giá nhãn dán mà không giảm giá. Heather tiết kiệm $\$15$ bằng cách mua máy tính ở cửa hàng A thay vì cửa hàng B. Giá dán nhãn của máy tính là bao nhiêu, tính bằng đô la?

Trong khi Steve và LeRoy đang câu cá cách bờ $1$ dặm, thuyền của họ bị rò rỉ và nước tràn vào với tốc độ không đổi $10$ gallon mỗi phút. Thuyền sẽ chìm nếu chìm trong hơn $30$ gallon nước. Steve bắt đầu chèo về phía bờ với tốc độ không đổi $4$ dặm một giờ trong khi LeRoy vớt nước ra khỏi thuyền. Tốc độ chậm nhất, tính bằng gallon trên phút, mà LeRoy có thể bảo lãnh nếu họ vào được bờ mà không bị chìm là bao nhiêu?

thể tích của hình lập phương có bề mặt diện tích gấp đôi so với hình lập phương có thể tích $1?$

Các màn hình tivi cũ hơn có tỷ lệ khung hình là $4:3.$ Nghĩa là tỷ lệ giữa chiều rộng và chiều cao là $4:3.$ Tỷ lệ khung hình của nhiều phim không phải là $4:3,$ nên đôi khi chúng được hiển thị trên màn hình tivi bằng “hộp thư” — các dải tối màu có chiều cao bằng nhau ở đầu và cuối màn hình, như được hiển thị. Giả sử một bộ phim có tỷ lệ khung hình là $2:1$ và được chiếu trên màn hình tivi cũ hơn với đường chéo $27$-inch. Chiều cao tính bằng inch của mỗi dải màu tối là bao nhiêu?

Doug có thể sơn một căn phòng trong $5$ giờ. Dave có thể sơn cùng một căn phòng trong $7$ giờ. Doug và Dave cùng nhau sơn căn phòng và nghỉ một giờ để ăn trưa. Gọi $t$ là tổng thời gian, tính bằng giờ, cần thiết để họ hoàn thành công việc cùng nhau, bao gồm cả bữa trưa. Phương trình nào sau đây được thỏa mãn bởi $t?$

Ba hình khối được tạo thành từ mẫu được hiển thị. Sau đó, chúng được xếp chồng lên nhau trên một bảng sao cho các số hiển thị $13$ có tổng lớn nhất có thể. Số tiền đó là bao nhiêu?

Hàm $f$ có miền $[0, 2]$ và phạm vi $[0, 1].$ (Ký hiệu $[a, b]$ biểu thị $\{x : a \le x \le b\}.$) Miền và phạm vi tương ứng của hàm $g$ được xác định bởi $$
g(x) = 1 - f(x + 1)?
$$

Các điểm $A$ và $B$ nằm trên một đường tròn có tâm tại $O,$ và $\angle AOB = 60^\circ.$ Đường tròn thứ hai tiếp xúc nội bộ với đường tròn thứ nhất và tiếp xúc với cả $OA$ và $OB.$ Tỷ lệ của diện tích của đường tròn nhỏ hơn với đường tròn lớn hơn là bao nhiêu vòng tròn?

diện tích của vùng được xác định bởi bất đẳng thức $$
|3x - 18| + |2y + 7| \le 3?
$$ là gì

Đặt $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ chữ số hàng đơn vị của $k^2 + 2^k?$ là gì

Các số $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ và $\log(a^8 b^{15})$ là ba số hạng đầu tiên của cấp số cộng và số hạng thứ $12$của dãy là $\log(b^n).$ $n?$ là gì

Đặt $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ là một dãy số nguyên được xác định theo quy tắc $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ nếu $a_{n-1}$ là số chẵn và $a_n = 3a_{n-1} + 1$ nếu $a_{n-1}$ là số lẻ. Với bao nhiêu số nguyên dương $a_1 \le 2008$ thì đúng là $a_1$ nhỏ hơn mỗi số $a_2,$ $a_3,$ và $a_4?$

Tam giác $ABC,$ có các cạnh có độ dài $5,$ $6,$ và $7,$ có một đỉnh trên trục dương $x$, một đỉnh trên trục dương $y$ và một đỉnh trên trục dương $z$. Đặt $O$ là nguồn gốc. thể tích của tứ diện $OABC?$ là gì

Trong khai triển của $$
\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}
$$ hệ số của $x^{28}?$ là bao nhiêu

Tam giác $ABC$ có $AC = 3,$ $BC = 4,$ và $AB = 5.$ Điểm $D$ nằm trên $AB,$ và $CD$ chia đôi góc vuông. Các đường tròn nội tiếp $\triangle ADC$ và $\triangle BCD$ có bán kính lần lượt là $r_a$ và $r_b,$. $\frac{r_a}{r_b}?$ là gì