Cho $p \geq 5$ là một số nguyên tố và để $r$ là số cách đặt cờ caro $p$ trên bảng kiểm tra $p \times p$ để không phải tất cả các kiểm tra đều nằm trong cùng một hàng (Nhưng tất cả chúng có thể ở cùng một cột). Chứng minh rằng $r$ là chia hết cho $p^{5}$. Ở đây, chúng tôi giả định rằng tất cả các cờ đều giống hệt nhau.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm số thực không âm lớn nhất $f(n)$ (tùy thuộc vào $n$) với thuộc tính sau: Bất cứ khi nào $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là số thực mà $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ là một số nguyên, tồn tại một số $i$ sao cho $\left|a_{i}-\frac{1}{2}\right| \geq f(n)$.
Cho $A$, $B$ là hai điểm khác biệt trên một đường tròn nhất định $O$ và gọi $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Gọi $O_{1}$ là đường tròn tiếp tuyến với đường thẳng $AB$ tại $P$ và tiếp tuyến với đường tròn $O$. Gọi $\ell$ là đường tiếp tuyến, khác với dòng $AB$, đến $O_{1}$ đi qua $A$. Gọi $C$ là điểm giao nhau, khác với $A$, của $\ell$ và $O$. Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $O_{2}$ là đường tiếp tuyến của đường thẳng $BC$ tại $Q$ và Tiếp xúc với đoạn đường $AC$. Chứng minh rằng đường tròn $O_{2}$ là tiếp tuyến với đường tròn $O$.
Trong một rạp xiếc, có những chú hề $n$ ăn mặc và vẽ nên bằng cách sử dụng 12 màu sắc riêng biệt. Mỗi chú hề được yêu cầu sử dụng ít nhất năm màu khác nhau. Một ngày nào đó, Ringmaster of the Circus ra lệnh rằng không có hai chú hề nào có cùng màu sắc chính xác và không quá 20 chú hề có thể sử dụng bất kỳ màu cụ thể nào. Tìm số lượng lớn nhất $n$ của chú hề để làm cho thứ tự của người điều khiển chiếc nhẫn trở nên khả thi.
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn các lũy thừa phân biệt của $\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ có nghĩa là vàng. Ở đây, một công suất không thể tách rời của $\tau$ có dạng $\tau^{i}$, trong đó $i$ là một số nguyên (không nhất thiết là dương).
Số thực khác không $a$, $b$, $c$ đáp ứng sự bình đẳng $$
\frac{ab}{b-c} + \frac{bc}{c-a} + \frac{ca}{a-b} = \frac{ab}{b+c} + \frac{bc}{c+a} + \frac{ca}{a+b} + 6abc.
$$
Chứng minh rằng nếu số dương $a, b, x, y$ thỏa mãn bất đẳng thức $ab \ge xa + yb$ thì chúng thỏa mãn bất đẳng thức $\sqrt{a+b} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y}$.
Trên một đường tròn được đánh dấu chấm trắng $15$ và chấm đen $1$. Chúng ta hãy xem xét tất cả các đa giác có thể có (lồi) với các đỉnh của chúng tại các điểm này. Hãy tách chúng thành hai loại: - Loại 1: Những loại chỉ có đỉnh màu trắng. - Loại 2: Những người có chấm đen là một trong các đỉnh. có nhiều đa giác loại 1 hoặc loại 2 hơn không? Còn bao nhiêu cái nữa?
Luật cướp biển xác định rằng, để chia đồng tiền của một kho báu, thuyền trưởng phải chọn một nhóm cướp biển (không kể mình). Sau đó, thuyền trưởng phải phân phát cùng một số tiền cho mỗi tên cướp biển trong nhóm này, theo cách mà không thể đưa cho mỗi người trong số họ số tiền còn lại (tôn trọng việc mỗi tên cướp biển nhận được cùng một số tiền). Những đồng tiền còn lại sau đó được trao cho thuyền trưởng. Trên tàu của thuyền trưởng Barbaroxa có 100 tên cướp biển (không tính thuyền trưởng). Barbaroxa phải chia sẻ một kho báu chứa ít hơn 1000 đồng xu. Nếu anh ta chọn 99 tên cướp biển, anh ta sẽ có 51 đồng tiền, nhưng nếu anh ta chọn 77 tên cướp biển, anh ta sẽ có 29 xu.
a) Kho báu chứa bao nhiêu đồng xu?
b) nên chọn bao nhiêu tên cướp biển Barbaroxa để nhận được nhiều tiền nhất có thể?
Hình sau đây cho thấy một hình vuông $ABCD$, và hai điểm $P$ và $Q$ tương ứng trên các cạnh $\overline{BC}$ và $\overline{DA}$, tương ứng. Bây giờ chúng ta gấp hình vuông dọc theo đoạn $\overline{PQ}$, đưa đỉnh $B$ đến trung điểm của phân đoạn $\overline{CD}$. Người ta biết rằng cạnh của hình vuông đo 24.
a) Tính độ dài của đoạn $\overline{PC}$.
b) Tính độ dài đoạn $\overline{AQ}$.
c) Tính độ dài đoạn $\overline{PQ}$.
Tại trạm xe buýt - một nhóm các chàng trai và cô gái đợi ở một điểm dừng bên xe buýt. Trên chuyến xe buýt đầu tiên đi qua, chỉ có 15 cô gái lên xe, và 2 chàng trai còn lại cho mỗi cô gái tại bến xe buýt. Trên chuyến xe buýt thứ hai đi qua, chỉ có 45 nam sinh lên xe, và 5 nữ sinh còn lại cho mỗi bé trai tại bến xe buýt. Xác định số trẻ em trai và gái ở điểm dừng trước điểm dừng xe buýt đầu tiên.
Tam giác thiếc - Một cậu bé đã cố gắng xếp 480 lon theo hình tam giác bằng lon ở dòng $1^{a}$, 2 lon trên $2^{a}$ và vân vân. Cuối cùng, 15 lon đã được để lại. Tam giác này có bao nhiêu đường thẳng?
Một nhóm các chàng trai và cô gái đã đi ăn pizza trong hai ngày liên tiếp. Trong nhà hàng nơi họ đến, những chiếc bánh pizza được cắt thành mười hai miếng bằng nhau. Maria quan sát thấy rằng vào ngày đầu tiên mỗi chàng trai ăn 7 miếng, và mỗi cô gái 3 miếng. Ngày thứ hai, mỗi chàng trai ăn 6 miếng và mỗi cô gái 2 miếng. Điều thú vị là vào cả hai ngày, họ gọi bốn chiếc bánh pizza đã được tiêu thụ hoàn toàn và sau đó gọi một chiếc khác, từ đó còn lại một số miếng (nghĩa là, ít nhất một miếng đã được ăn và ít nhất một miếng còn sót lại). Có bao nhiêu chàng trai và cô gái đi ăn pizza?
Trò chơi bóng đá - Mười hai học sinh của một lớp Olympic đi chơi bóng đá mỗi ngày sau giờ học toán, thành lập hai đội mỗi đội 6 người và chơi với nhau. Mỗi ngày họ thành lập hai đội khác nhau từ các đội được thành lập trong những ngày trước đó. Cuối năm, họ thấy rằng cứ 5 học sinh đã chơi cùng nhau một đội chính xác một lần. Có bao nhiêu đội khác nhau được thành lập trong suốt cả năm?
Cho $ABC$ là một tam giác sao cho $AB = 55$, $AC = 35$ và $BC = 72$. Hãy xem xét một đường thẳng $\ell$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và cạnh $AC$ tại $E$ và chia tam giác thành hai Hình có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau. Xác định số đo của phân đoạn $CD$.
Trong một giải đấu, hai cầu thủ bất kỳ chơi với nhau. Mỗi người chơi nhận được một điểm cho mỗi chiến thắng, $1/2$ Đối với một cái cà vạt và $0$ chỉ bằng cách đánh bại. được $S$ bộ của $10$ điểm thấp hơn. Chúng tôi biết rằng mỗi người chơi nhận được một nửa số điểm của họ khi đấu với người chơi $S$.
a) Tổng điểm của các cầu thủ là bao nhiêu $S$?
b) Xác định số người tham gia giải đấu có bao nhiêu người tham gia. Lưu ý: Mỗi người chơi chỉ chơi một lần với mỗi đối thủ.
Julia đang tập luyện cho Thế vận hội Toán học. Một ngày cô quyết định chia $2014$ cho từng số nguyên dương của $2015$. Đối với mỗi bộ phận, cô ấy viết chỉ số vào sổ tay của mình và phần còn lại lên bảng.
a. Hãy giúp Julia. Viết tám ước số nguyên dương của $2015$.
b. Đối với mỗi số chia, lập phép chia và viết một danh sách với các thương và một số khác với số còn lại thu được.
c. Kết thúc, Julia nhận thấy một sự "trùng hợp" tuyệt vời: những con số được ghi trong sổ tay cũng giống như trên bảng, chỉ được viết theo một thứ tự khác. nó sẽ là một sự trùng hợp? Cho thấy rằng đối với bất kỳ số $n$ nào mà Julia chọn, nếu cô ấy tính thương số và phần còn lại của bộ phận $n-1$ cho mỗi số $n$ chia số trong sổ tay và trên bảng chúng sẽ giống hệt nhau, chỉ có thể được viết theo một thứ tự khác.
Bây giờ chúng ta gấp hình vuông dọc theo đoạn $\overline{PQ}$, đưa đỉnh $B$ đến trung điểm của phân đoạn $\overline{CD}$. 
Người ta biết rằng cạnh của hình vuông đo 24.